Theorem resubcli 7438

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
resubcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
resubcli	⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ

Proof of Theorem resubcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2	1	recni 7193	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		resubcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	3	recni 7193	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5		negsub 7423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
6	2, 4, 5	mp2an 417	. 2 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)
7	3	renegcli 7437	. . 3 ⊢ -𝐵 ∈ ℝ
8	1, 7	readdcli 7194	. 2 ⊢ (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ
9	6, 8	eqeltrri 2153	1 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  (class class class)co 5543  ℂcc 7041  ℝcr 7042   + caddc 7046   − cmin 7346  -cneg 7347

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-setind 4288  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-sub 7348  df-neg 7349

This theorem is referenced by:  0reALT  7472