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Theorem rpexp 10739
Description: If two numbers 𝐴 and 𝐵 are relatively prime, then they are still relatively prime if raised to a power. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexp ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Proof of Theorem rpexp
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0exp 9660 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
21oveq1d 5578 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((0↑𝑁) gcd 0) = (0 gcd 0))
32eqeq1d 2091 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((0↑𝑁) gcd 0) = 1 ↔ (0 gcd 0) = 1))
4 oveq1 5570 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
5 oveq12 5572 . . . . . . 7 (((𝐴𝑁) = (0↑𝑁) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = ((0↑𝑁) gcd 0))
64, 5sylan 277 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = ((0↑𝑁) gcd 0))
76eqeq1d 2091 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((0↑𝑁) gcd 0) = 1))
8 oveq12 5572 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 0))
98eqeq1d 2091 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ↔ (0 gcd 0) = 1))
107, 9bibi12d 233 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ↔ (((0↑𝑁) gcd 0) = 1 ↔ (0 gcd 0) = 1)))
113, 10syl5ibrcom 155 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
12113ad2ant3 962 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
13 exprmfct 10726 . . . . . . 7 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵))
14 simpl1 942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
15 simpl3 944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1615nnnn0d 8460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 zexpcl 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
1814, 16, 17syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
1918adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
20 simpl2 943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
2120adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
22 gcddvds 10562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2319, 21, 22syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2423simpld 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁))
25 prmz 10700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
2625adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
27 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
2814zcnd 8603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 expeq0 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3028, 15, 29syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3130anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
3227, 31mtbird 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ¬ ((𝐴𝑁) = 0 ∧ 𝐵 = 0))
33 gcdn0cl 10561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝐴𝑁) = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3418, 20, 32, 33syl21anc 1169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ)
3534nnzd 8601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ)
3635adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ)
37 dvdstr 10440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
3826, 36, 19, 37syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
3924, 38mpan2d 419 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
40 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
41 simpll1 978 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4215adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
43 prmdvdsexp 10734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑝𝐴))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑝𝐴))
4539, 44sylibd 147 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → 𝑝𝐴))
4623simprd 112 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
47 dvdstr 10440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
4826, 36, 21, 47syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
4946, 48mpan2d 419 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → 𝑝𝐵))
5045, 49jcad 301 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝑝𝐴𝑝𝐵)))
51 dvdsgcd 10608 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝𝐴𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
5226, 41, 21, 51syl3anc 1170 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝐴𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
53 nprmdvds1 10728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
54 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑝 ∥ 1))
5554notbid 625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → (¬ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ¬ 𝑝 ∥ 1))
5653, 55syl5ibrcom 155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ¬ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵)))
5756necon2ad 2306 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
5857adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
5950, 52, 583syld 56 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6059rexlimdva 2482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
61 gcdn0cl 10561 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
62613adantl3 1097 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
63 eluz2b3 8824 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6463baib 862 . . . . . . . . 9 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6562, 64syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
6660, 65sylibrd 167 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
6713, 66syl5 32 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
68 exprmfct 10726 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵))
69 gcddvds 10562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
7041, 21, 69syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
7170simpld 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
72 iddvdsexp 10427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∥ (𝐴𝑁))
7341, 42, 72syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∥ (𝐴𝑁))
7462nnzd 8601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
7574adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
76 dvdstr 10440 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴𝐴 ∥ (𝐴𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)))
7775, 41, 19, 76syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴𝐴 ∥ (𝐴𝑁)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)))
7871, 73, 77mp2and 424 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁))
79 dvdstr 10440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
8026, 75, 19, 79syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ (𝐴𝑁)) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
8178, 80mpan2d 419 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑝 ∥ (𝐴𝑁)))
8270simprd 112 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
83 dvdstr 10440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
8426, 75, 21, 83syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → 𝑝𝐵))
8582, 84mpan2d 419 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑝𝐵))
8681, 85jcad 301 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ∧ 𝑝𝐵)))
87 dvdsgcd 10608 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵)))
8826, 19, 21, 87syl3anc 1170 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝐴𝑁) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵)))
89 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ↔ 𝑝 ∥ 1))
9089notbid 625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → (¬ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ↔ ¬ 𝑝 ∥ 1))
9153, 90syl5ibrcom 155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → ¬ 𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵)))
9291necon2ad 2306 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9392adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9486, 88, 933syld 56 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9594rexlimdva 2482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
96 eluz2b3 8824 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9796baib 862 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9834, 97syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1))
9995, 98sylibrd 167 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
10068, 99syl5 32 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
10167, 100impbid 127 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
102101, 98, 653bitr3d 216 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
103 simp1 939 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
104 simp3 941 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
105104nnnn0d 8460 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
106103, 105, 17syl2anc 403 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
107 simp2 940 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
108106, 107gcdcld 10567 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
109108nn0zd 8600 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ)
110 1zzd 8511 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
111 zdceq 8556 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1)
112109, 110, 111syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → DECID ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1)
113103, 107gcdcld 10567 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
114113nn0zd 8600 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
115 zdceq 8556 . . . . . . 7 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
116114, 110, 115syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → DECID (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
117 nebidc 2329 . . . . . 6 (DECID ((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 → (DECID (𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ↔ (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))))
118112, 116, 117sylc 61 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ↔ (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1)))
119118adantr 270 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ↔ (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) ≠ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1)))
120102, 119mpbird 165 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
121120ex 113 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
122 gcdmndc 10547 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
123 exmiddc 778 . . . 4 (DECID (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
124122, 123syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
1251243adant3 959 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
12612, 121, 125mpjaod 671 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴𝑁) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 776  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  wrex 2354   class class class wbr 3805  cfv 4952  (class class class)co 5563  cc 7093  0cc0 7095  1c1 7096  cn 8158  2c2 8208  0cn0 8407  cz 8484  cuz 8752  cexp 9624  cdvds 10403   gcd cgcd 10545  cprime 10696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-1o 6085  df-2o 6086  df-er 6193  df-en 6309  df-sup 6491  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-gcd 10546  df-prm 10697
This theorem is referenced by:  rpexp1i  10740  phiprmpw  10805
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