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Theorem rpmulgcd2 11703
Description: If 𝑀 is relatively prime to 𝑁, then the GCD of 𝐾 with 𝑀 · 𝑁 is the product of the GCDs with 𝑀 and 𝑁 respectively. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
rpmulgcd2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem rpmulgcd2
StepHypRef Expression
1 simpl1 969 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 simpl2 970 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpl3 971 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zmulcld 9147 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
51, 4gcdcld 11584 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
61, 2gcdcld 11584 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
71, 3gcdcld 11584 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
86, 7nn0mulcld 9003 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ0)
9 mulgcddvds 11702 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
109adantr 274 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
11 gcddvds 11579 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
121, 2, 11syl2anc 408 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
1312simpld 111 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾)
14 gcddvds 11579 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
151, 3, 14syl2anc 408 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
1615simpld 111 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾)
176nn0zd 9139 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
187nn0zd 9139 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
19 gcddvds 11579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁)))
2017, 18, 19syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁)))
2120simpld 111 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀))
2212simprd 113 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
2317, 18gcdcld 11584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ0)
2423nn0zd 9139 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
25 dvdstr 11457 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
2624, 17, 2, 25syl3anc 1201 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
2721, 22, 26mp2and 429 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
2820simprd 113 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁))
2915simprd 113 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
30 dvdstr 11457 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁))
3124, 18, 3, 30syl3anc 1201 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁))
3228, 29, 31mp2and 429 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁)
33 dvdsgcd 11627 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
3424, 2, 3, 33syl3anc 1201 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
3527, 32, 34mp2and 429 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
36 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
3735, 36breqtrd 3924 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 1)
38 dvds1 11478 . . . . . . 7 (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ0 → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 1 ↔ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1))
3923, 38syl 14 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 1 ↔ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1))
4037, 39mpbid 146 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1)
41 coprmdvds2 11701 . . . . 5 ((((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
4217, 18, 1, 40, 41syl31anc 1204 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
4313, 16, 42mp2and 429 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾)
44 dvdscmul 11447 . . . . . 6 (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁)))
4518, 3, 17, 44syl3anc 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁)))
46 dvdsmulc 11448 . . . . . 6 (((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀 → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
4717, 2, 3, 46syl3anc 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀 → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
4817, 18zmulcld 9147 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
4917, 3zmulcld 9147 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ)
50 dvdstr 11457 . . . . . 6 ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5148, 49, 4, 50syl3anc 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5245, 47, 51syl2and 293 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5329, 22, 52mp2and 429 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
54 dvdsgcd 11627 . . . 4 ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
5548, 1, 4, 54syl3anc 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
5643, 53, 55mp2and 429 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
57 dvdseq 11473 . 2 ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
585, 8, 10, 56, 57syl22anc 1202 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  1c1 7589   · cmul 7593  0cn0 8945  cz 9022  cdvds 11420   gcd cgcd 11562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-sup 6839  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-fl 10011  df-mod 10064  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-dvds 11421  df-gcd 11563
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