ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpred GIF version

Theorem rpred 8719
Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpred (𝜑𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpred
StepHypRef Expression
1 rpssre 8690 . 2 + ⊆ ℝ
2 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
31, 2sseldi 2970 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409  cr 6945  +crp 8680
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-rab 2332  df-in 2951  df-ss 2958  df-rp 8681
This theorem is referenced by:  rpxrd  8720  rpcnd  8721  rpregt0d  8726  rprege0d  8727  rprene0d  8728  rprecred  8731  ltmulgt11d  8755  ltmulgt12d  8756  gt0divd  8757  ge0divd  8758  lediv12ad  8779  ltexp2a  9471  leexp2a  9472  expnlbnd2  9541  cvg1nlemcxze  9808  cvg1nlemcau  9810  cvg1nlemres  9811  cvg1n  9812  resqrexlemp1rp  9832  resqrexlemfp1  9835  resqrexlemover  9836  resqrexlemdec  9837  resqrexlemdecn  9838  resqrexlemlo  9839  resqrexlemcalc1  9840  resqrexlemcalc2  9841  resqrexlemcalc3  9842  resqrexlemnmsq  9843  resqrexlemnm  9844  resqrexlemcvg  9845  resqrexlemgt0  9846  resqrexlemoverl  9847  resqrexlemglsq  9848  resqrexlemga  9849  cau3lem  9940  addcn2  10061  mulcn2  10063  climrecvg1n  10097  climcvg1nlem  10098  qdencn  10490
  Copyright terms: Public domain W3C validator