ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sefvex GIF version

Theorem sefvex 5223
Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
sefvex ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem sefvex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2577 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
21a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ V)
3 simp3 917 . . . . . . . 8 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴𝐹𝑥)
4 simp2 916 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴 ∈ V)
5 brcnvg 4543 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥𝐹𝐴𝐴𝐹𝑥))
61, 4, 5sylancr 399 . . . . . . . 8 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → (𝑥𝐹𝐴𝐴𝐹𝑥))
73, 6mpbird 160 . . . . . . 7 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥𝐹𝐴)
8 breq1 3794 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐹𝐴𝑥𝐹𝐴))
98elrab 2720 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥𝐹𝐴))
102, 7, 9sylanbrc 402 . . . . . 6 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
11 elssuni 3635 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} → 𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
1210, 11syl 14 . . . . 5 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
13123expia 1117 . . . 4 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐹𝑥𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴}))
1413alrimiv 1770 . . 3 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴}))
15 fvss 5216 . . 3 (∀𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴}) → (𝐹𝐴) ⊆ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
1614, 15syl 14 . 2 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹𝐴) ⊆ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
17 seex 4099 . . 3 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V)
18 uniexg 4202 . . 3 ({𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V)
1917, 18syl 14 . 2 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V)
20 ssexg 3923 . 2 (((𝐹𝐴) ⊆ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∧ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V) → (𝐹𝐴) ∈ V)
2116, 19, 20syl2anc 397 1 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹𝐴) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896  wal 1257  wcel 1409  {crab 2327  Vcvv 2574  wss 2944   cuni 3607   class class class wbr 3791   Se wse 4093  ccnv 4371  cfv 4929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-se 4097  df-cnv 4380  df-iota 4894  df-fv 4937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator