ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  serige0 GIF version

Theorem serige0 9417
Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
serige0.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
serige0.2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
serige0.3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
serige0 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem serige0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serige0.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 8574 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 cnex 7063 . . . . . 6 ℂ ∈ V
54a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
6 ssrab2 3053 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ⊆ ℝ
7 ax-resscn 7034 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
86, 7sstri 2982 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ⊆ ℂ
98a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ⊆ ℂ)
10 serige0.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
11 serige0.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
12 breq2 3796 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹𝑘)))
1312elrab 2721 . . . . . 6 ((𝐹𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑘)))
1410, 11, 13sylanbrc 402 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
15 breq2 3796 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑘))
1615elrab 2721 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
17 breq2 3796 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑦))
1817elrab 2721 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
19 readdcl 7065 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
2019ad2ant2r 486 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
21 addge0 7520 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑘 + 𝑦))
2221an4s 530 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑘 + 𝑦))
23 breq2 3796 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 + 𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝑘 + 𝑦)))
2423elrab 2721 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ ((𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑘 + 𝑦)))
2520, 22, 24sylanbrc 402 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
2616, 18, 25syl2anb 279 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥}) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
2726adantl 266 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})) → (𝑘 + 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
28 addcl 7064 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
2928adantl 266 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
303, 5, 9, 14, 27, 29iseqss 9390 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥}) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
3130fveq1d 5208 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))
32 reex 7073 . . . . . 6 ℝ ∈ V
3332rabex 3929 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ∈ V
3433a1i 9 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ∈ V)
351, 34, 14, 27iseqcl 9387 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
3631, 35eqeltrrd 2131 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥})
37 breq2 3796 . . . 4 (𝑥 = (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)))
3837elrab 2721 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)))
3938simprbi 264 . 2 ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 0 ≤ 𝑥} → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))
4036, 39syl 14 1 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wcel 1409  {crab 2327  Vcvv 2574  wss 2945   class class class wbr 3792  cfv 4930  (class class class)co 5540  cc 6945  cr 6946  0cc0 6947   + caddc 6950  cle 7120  cz 8302  cuz 8569  seqcseq 9375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-iseq 9376
This theorem is referenced by:  serile  9418
  Copyright terms: Public domain W3C validator