ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  serile GIF version

Theorem serile 9107
Description: Comparison of partial sums of two infinite series of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
serige0.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
serige0.2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
serile.3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
serile.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
serile (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem serile
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 serige0.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 vex 2557 . . . . . 6 𝑘 ∈ V
3 serile.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4 serige0.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
53, 4resubcld 7334 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6 fveq2 5141 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑘))
7 fveq2 5141 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
86, 7oveq12d 5493 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
9 eqid 2040 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
108, 9fvmptg 5211 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ V ∧ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
112, 5, 10sylancr 393 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
1211, 5eqeltrd 2114 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘) ∈ ℝ)
13 serile.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
143, 4subge0d 7480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘)))
1513, 14mpbird 156 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
1615, 11breqtrrd 3787 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ ((𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))‘𝑘))
171, 12, 16serige0 9106 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))), ℂ)‘𝑁))
183recnd 7010 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
194recnd 7010 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
201, 18, 19, 11isersub 9098 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ V ↦ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥))), ℂ)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)))
2117, 20breqtrd 3785 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)))
22 eluzel2 8426 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
231, 22syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
24 cnex 6962 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2524a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
26 ax-resscn 6933 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2726a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
28 readdcl 6964 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
2928adantl 262 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
30 addcl 6963 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
3130adantl 262 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
3223, 25, 27, 3, 29, 31iseqss 9080 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, ℝ) = seq𝑀( + , 𝐺, ℂ))
3332fveq1d 5143 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺, ℝ)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁))
34 reex 6972 . . . . . 6 ℝ ∈ V
3534a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
361, 35, 3, 29iseqcl 9077 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺, ℝ)‘𝑁) ∈ ℝ)
3733, 36eqeltrrd 2115 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁) ∈ ℝ)
3823, 25, 27, 4, 29, 31iseqss 9080 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℝ) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
3938fveq1d 5143 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))
401, 35, 4, 29iseqcl 9077 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑁) ∈ ℝ)
4139, 40eqeltrrd 2115 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ∈ ℝ)
4237, 41subge0d 7480 . 2 (𝜑 → (0 ≤ ((seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁)))
4321, 42mpbid 135 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  Vcvv 2554  wss 2914   class class class wbr 3761  cmpt 3815  cfv 4865  (class class class)co 5475  cc 6844  cr 6845  0cc0 6846   + caddc 6849  cle 7017  cmin 7138  cz 8193  cuz 8421  seqcseq 9065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-1re 6935  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-addcom 6941  ax-addass 6943  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-cnre 6952  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-ltwlin 6954  ax-pre-lttrn 6955  ax-pre-ltadd 6957
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-frec 5941  df-1o 5964  df-2o 5965  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-plpq 6399  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408  df-enq0 6479  df-nq0 6480  df-0nq0 6481  df-plq0 6482  df-mq0 6483  df-inp 6521  df-i1p 6522  df-iplp 6523  df-iltp 6525  df-enr 6768  df-nr 6769  df-ltr 6772  df-0r 6773  df-1r 6774  df-0 6853  df-1 6854  df-r 6856  df-lt 6859  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-le 7022  df-sub 7140  df-neg 7141  df-inn 7867  df-n0 8130  df-z 8194  df-uz 8422  df-fz 8818  df-fzo 8943  df-iseq 9066
This theorem is referenced by:  iserile  9715
  Copyright terms: Public domain W3C validator