Theorem snexg 4103

Description: A singleton whose element exists is a set. The 𝐴 ∈ V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4099	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		snsspw 3686	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴
3		ssexg 4062	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
4	2, 3	mpan 420	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   ⊆ wss 3066  𝒫 cpw 3505  {csn 3522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528

This theorem is referenced by:  snex  4104  notnotsnex  4106  exmidsssnc  4121  snelpwi  4129  opexg  4145  opm  4151  tpexg  4360  op1stbg  4395  sucexb  4408  elxp4  5021  elxp5  5022  opabex3d  6012  opabex3  6013  1stvalg  6033  2ndvalg  6034  mpoexxg  6101  cnvf1o  6115  brtpos2  6141  tfr0dm  6212  tfrlemisucaccv  6215  tfrlemibxssdm  6217  tfrlemibfn  6218  tfr1onlemsucaccv  6231  tfr1onlembxssdm  6233  tfr1onlembfn  6234  tfrcllemsucaccv  6244  tfrcllembxssdm  6246  tfrcllembfn  6247  fvdiagfn  6580  ixpsnf1o  6623  mapsnf1o  6624  xpsnen2g  6716  zfz1isolem1  10576  climconst2  11053  ennnfonelemp1  11908  setsvalg  11978  setsex  11980  setsslid  11998  strle1g  12038  1strbas  12047