ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snfig GIF version

Theorem snfig 6250
Description: A singleton is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
snfig (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)

Proof of Theorem snfig
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1onn 6052 . . 3 1𝑜 ∈ ω
2 ensn1g 6236 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
3 breq2 3764 . . . 4 (𝑥 = 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1𝑜))
43rspcev 2653 . . 3 ((1𝑜 ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1𝑜) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
51, 2, 4sylancr 393 . 2 (𝐴𝑉 → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6 isfi 6200 . 2 ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
75, 6sylibr 137 1 (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1393  wrex 2304  {csn 3372   class class class wbr 3760  ωcom 4274  1𝑜c1o 5955  cen 6178  Fincfn 6180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3871  ax-nul 3879  ax-pow 3923  ax-pr 3940  ax-un 4141
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3577  df-int 3612  df-br 3761  df-opab 3815  df-id 4026  df-suc 4079  df-iom 4275  df-xp 4312  df-rel 4313  df-cnv 4314  df-co 4315  df-dm 4316  df-rn 4317  df-fun 4865  df-fn 4866  df-f 4867  df-f1 4868  df-fo 4869  df-f1o 4870  df-1o 5962  df-en 6181  df-fin 6183
This theorem is referenced by:  fiprc  6251  ssfiexmid  6295  diffitest  6299
  Copyright terms: Public domain W3C validator