ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snfig GIF version

Theorem snfig 6227
Description: A singleton is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
snfig (A 𝑉 → {A} Fin)

Proof of Theorem snfig
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1onn 6029 . . 3 1𝑜 𝜔
2 ensn1g 6213 . . 3 (A 𝑉 → {A} ≈ 1𝑜)
3 breq2 3759 . . . 4 (x = 1𝑜 → ({A} ≈ x ↔ {A} ≈ 1𝑜))
43rspcev 2650 . . 3 ((1𝑜 𝜔 {A} ≈ 1𝑜) → x 𝜔 {A} ≈ x)
51, 2, 4sylancr 393 . 2 (A 𝑉x 𝜔 {A} ≈ x)
6 isfi 6177 . 2 ({A} Fin ↔ x 𝜔 {A} ≈ x)
75, 6sylibr 137 1 (A 𝑉 → {A} Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wcel 1390  wrex 2301  {csn 3367   class class class wbr 3755  𝜔com 4256  1𝑜c1o 5933  cen 6155  Fincfn 6157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-1o 5940  df-en 6158  df-fin 6160
This theorem is referenced by:  fiprc  6228  ssfiexmid  6254
  Copyright terms: Public domain W3C validator