ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snnen2og GIF version

Theorem snnen2og 6285
Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 6286. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
snnen2og (𝐴𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)

Proof of Theorem snnen2og
StepHypRef Expression
1 1onn 6056 . . 3 1𝑜 ∈ ω
2 php5 6284 . . 3 (1𝑜 ∈ ω → ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜)
31, 2ax-mp 7 . 2 ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜
4 ensn1g 6240 . 2 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
5 df-2o 5965 . . . . 5 2𝑜 = suc 1𝑜
65eqcomi 2044 . . . 4 suc 1𝑜 = 2𝑜
76breq2i 3769 . . 3 (1𝑜 ≈ suc 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ 2𝑜)
8 ensymb 6223 . . . . 5 ({𝐴} ≈ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ {𝐴})
9 entr 6227 . . . . . 6 ((1𝑜 ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ≈ 2𝑜)
109ex 108 . . . . 5 (1𝑜 ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
118, 10sylbi 114 . . . 4 ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
1211con3rr3 563 . . 3 (¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
137, 12sylnbi 603 . 2 (¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
143, 4, 13mpsyl 59 1 (𝐴𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1393  {csn 3372   class class class wbr 3761  suc csuc 4074  ωcom 4276  1𝑜c1o 5957  2𝑜c2o 5958  cen 6182
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-br 3762  df-opab 3816  df-tr 3852  df-id 4027  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-1o 5964  df-2o 5965  df-er 6069  df-en 6185
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator