Theorem snnen2og 6285

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 6286. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2og	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)

Proof of Theorem snnen2og

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6056	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		php5 6284	. . 3 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜)
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 ⊢ ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜
4		ensn1g 6240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
5		df-2o 5965	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
6	5	eqcomi 2044	. . . 4 ⊢ suc 1𝑜 = 2𝑜
7	6	breq2i 3769	. . 3 ⊢ (1𝑜 ≈ suc 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ 2𝑜)
8		ensymb 6223	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ≈ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ {𝐴})
9		entr 6227	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ≈ 2𝑜)
10	9	ex 108	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
11	8, 10	sylbi 114	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
12	11	con3rr3 563	. . 3 ⊢ (¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
13	7, 12	sylnbi 603	. 2 ⊢ (¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
14	3, 4, 13	mpsyl 59	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 1393  {csn 3372   class class class wbr 3761  suc csuc 4074  ωcom 4276  1_𝑜c1o 5957  2_𝑜c2o 5958   ≈ cen 6182

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-br 3762  df-opab 3816  df-tr 3852  df-id 4027  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-1o 5964  df-2o 5965  df-er 6069  df-en 6185

This theorem is referenced by: (None)