Theorem snnen2og 6394

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 6395. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2og	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)

Proof of Theorem snnen2og

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6159	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		php5 6393	. . 3 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜)
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 ⊢ ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜
4		ensn1g 6344	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
5		df-2o 6066	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
6	5	eqcomi 2086	. . . 4 ⊢ suc 1𝑜 = 2𝑜
7	6	breq2i 3801	. . 3 ⊢ (1𝑜 ≈ suc 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ 2𝑜)
8		ensymb 6327	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ≈ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ {𝐴})
9		entr 6331	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ≈ 2𝑜)
10	9	ex 113	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
11	8, 10	sylbi 119	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
12	11	con3rr3 596	. . 3 ⊢ (¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
13	7, 12	sylnbi 636	. 2 ⊢ (¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
14	3, 4, 13	mpsyl 64	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 1434  {csn 3406   class class class wbr 3793  suc csuc 4128  ωcom 4339  1_𝑜c1o 6058  2_𝑜c2o 6059   ≈ cen 6285

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-1o 6065  df-2o 6066  df-er 6172  df-en 6288

This theorem is referenced by: (None)