ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snnen2og GIF version

Theorem snnen2og 6394
Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 6395. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
snnen2og (𝐴𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)

Proof of Theorem snnen2og
StepHypRef Expression
1 1onn 6159 . . 3 1𝑜 ∈ ω
2 php5 6393 . . 3 (1𝑜 ∈ ω → ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜)
31, 2ax-mp 7 . 2 ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜
4 ensn1g 6344 . 2 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
5 df-2o 6066 . . . . 5 2𝑜 = suc 1𝑜
65eqcomi 2086 . . . 4 suc 1𝑜 = 2𝑜
76breq2i 3801 . . 3 (1𝑜 ≈ suc 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ 2𝑜)
8 ensymb 6327 . . . . 5 ({𝐴} ≈ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ {𝐴})
9 entr 6331 . . . . . 6 ((1𝑜 ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ≈ 2𝑜)
109ex 113 . . . . 5 (1𝑜 ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
118, 10sylbi 119 . . . 4 ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
1211con3rr3 596 . . 3 (¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
137, 12sylnbi 636 . 2 (¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
143, 4, 13mpsyl 64 1 (𝐴𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1434  {csn 3406   class class class wbr 3793  suc csuc 4128  ωcom 4339  1𝑜c1o 6058  2𝑜c2o 6059  cen 6285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-1o 6065  df-2o 6066  df-er 6172  df-en 6288
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator