Theorem so2nr 4238

Description: A strict order relation has no 2-cycle loops. (Contributed by NM, 21-Jan-1996.)

Assertion

Ref	Expression
so2nr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵))

Proof of Theorem so2nr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 4230	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		po2nr 4226	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵))
3	1, 2	sylan 281	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924   Po wpo 4211   Or wor 4212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-po 4213  df-iso 4214

This theorem is referenced by:  sotricim  4240  cauappcvgprlemdisj  7452  cauappcvgprlemladdru  7457  cauappcvgprlemladdrl  7458  caucvgprlemnbj  7468  caucvgprprlemnbj  7494  suplocexprlemmu  7519  ltnsym2  7847