Theorem so2nr 4104

Description: A strict order relation has no 2-cycle loops. (Contributed by NM, 21-Jan-1996.)

Assertion

Ref	Expression
so2nr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵))

Proof of Theorem so2nr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 4096	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
2		po2nr 4092	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵))
3	1, 2	sylan 277	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3805   Po wpo 4077   Or wor 4078

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-v 2611  df-un 2986  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-po 4079  df-iso 4080

This theorem is referenced by:  sotricim  4106  cauappcvgprlemdisj  6938  cauappcvgprlemladdru  6943  cauappcvgprlemladdrl  6944  caucvgprlemnbj  6954  caucvgprprlemnbj  6980  ltnsym2  7303