Theorem soeq2 4233

Description: Equality theorem for the strict ordering predicate. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
soeq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑅 Or 𝐴 ↔ 𝑅 Or 𝐵))

Proof of Theorem soeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soss 4231	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑅 Or 𝐵 → 𝑅 Or 𝐴))
2		soss 4231	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵))
3	1, 2	anim12i 336	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 Or 𝐵 → 𝑅 Or 𝐴) ∧ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵)))
4		eqss 3107	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5		dfbi2 385	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐵 ↔ 𝑅 Or 𝐴) ↔ ((𝑅 Or 𝐵 → 𝑅 Or 𝐴) ∧ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Or 𝐵)))
6	3, 4, 5	3imtr4i 200	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑅 Or 𝐵 ↔ 𝑅 Or 𝐴))
7	6	bicomd 140	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑅 Or 𝐴 ↔ 𝑅 Or 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ⊆ wss 3066   Or wor 4212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-in 3072  df-ss 3079  df-po 4213  df-iso 4214

This theorem is referenced by: (None)