Theorem spcegv 2769

Description: Existential specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
spcgv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
spcegv	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝜓 → ∃𝑥𝜑))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem spcegv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2279	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1508	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		spcgv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	spcegf 2764	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝜓 → ∃𝑥𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683

This theorem is referenced by:  spcev  2775  elabd  2824  eqeu  2849  absneu  3590  elunii  3736  axpweq  4090  euotd  4171  brcogw  4703  opeldmg  4739  breldmg  4740  dmsnopg  5005  dff3im  5558  elunirn  5660  unielxp  6065  op1steq  6070  tfr0dm  6212  tfrlemibxssdm  6217  tfrlemiex  6221  tfr1onlembxssdm  6233  tfr1onlemex  6237  tfrcllembxssdm  6246  tfrcllemex  6250  frecabcl  6289  ertr  6437  f1oen3g  6641  f1dom2g  6643  f1domg  6645  dom3d  6661  en1  6686  phpelm  6753  isinfinf  6784  ordiso  6914  djudom  6971  difinfsn  6978  ctm  6987  enumct  6993  djudoml  7068  djudomr  7069  recexnq  7191  ltexprlemrl  7411  ltexprlemru  7413  recexprlemm  7425  recexprlemloc  7432  recexprlem1ssl  7434  recexprlem1ssu  7435  axpre-suploclemres  7702  frecuzrdgtcl  10178  frecuzrdgfunlem  10185  fihasheqf1oi  10527  zfz1isolem1  10576  climeu  11058  fsum3  11149  eltg3  12215  uptx  12432  xblm  12575  bj-2inf  13125  subctctexmid  13185