Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqr2irrlem GIF version

Theorem sqr2irrlem 10222
 Description: Lemma concerning rationality of square root of 2. The core of the proof - if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqr2irrlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
sqr2irrlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sqr2irrlem (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqr2irrlem
StepHypRef Expression
1 2re 8059 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
2 0le2 8079 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 2
3 resqrtth 9850 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2)↑2) = 2)
41, 2, 3mp2an 410 . . . . . . . . . . 11 ((√‘2)↑2) = 2
5 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
65oveq1d 5554 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
74, 6syl5eqr 2102 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
8 sqr2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
98zcnd 8419 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
10 sqr2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
1110nncnd 8003 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1210nnap0d 8034 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 # 0)
139, 11, 12sqdivapd 9555 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
147, 13eqtrd 2088 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
1514oveq1d 5554 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
169sqcld 9540 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
1710nnsqcld 9563 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1817nncnd 8003 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
1917nnap0d 8034 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) # 0)
2016, 18, 19divcanap1d 7840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2115, 20eqtrd 2088 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2221oveq1d 5554 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
23 2cnd 8062 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
24 2ap0 8082 . . . . . . . 8 2 # 0
2524a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 # 0)
2618, 23, 25divcanap3d 7844 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
2722, 26eqtr3d 2090 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
2827, 17eqeltrd 2130 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
2928nnzd 8417 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
30 zesq 9528 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
318, 30syl 14 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
3229, 31mpbird 160 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
33 2cn 8060 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
3433sqvali 9493 . . . . . . . 8 (2↑2) = (2 · 2)
3534oveq2i 5550 . . . . . . 7 ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2))
369, 23, 25sqdivapd 9555 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
3716, 23, 23, 25, 25divdivap1d 7870 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
3835, 36, 373eqtr4a 2114 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
3927oveq1d 5554 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
4038, 39eqtrd 2088 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
41 zsqcl 9484 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
4232, 41syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
4340, 42eqeltrrd 2131 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
4417nnrpd 8718 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
4544rphalfcld 8732 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
4645rpgt0d 8722 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
47 elnnz 8311 . . . 4 (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
4843, 46, 47sylanbrc 402 . . 3 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
49 nnesq 9529 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
5010, 49syl 14 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
5148, 50mpbird 160 . 2 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
5232, 51jca 294 1 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   = wceq 1259   ∈ wcel 1409   class class class wbr 3791  ‘cfv 4929  (class class class)co 5539  ℝcr 6945  0cc0 6946   · cmul 6951   < clt 7118   ≤ cle 7119   # cap 7645   / cdiv 7724  ℕcn 7989  2c2 8039  ℤcz 8301  ↑cexp 9413  √csqrt 9815 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059  ax-arch 7060  ax-caucvg 7061 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681  df-iseq 9370  df-iexp 9414  df-rsqrt 9817 This theorem is referenced by:  sqrt2irr  10223
 Copyright terms: Public domain W3C validator