Theorem sqrecapd 9792

Description: Square of reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Assertion

Ref	Expression
sqrecapd	⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴)↑2) = (1 / (𝐴↑2)))

Proof of Theorem sqrecapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrecd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
3		2z 8546	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		exprecap 9700	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐴)↑2) = (1 / (𝐴↑2)))
5	3, 4	mp3an3 1258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((1 / 𝐴)↑2) = (1 / (𝐴↑2)))
6	1, 2, 5	syl2anc 403	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴)↑2) = (1 / (𝐴↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3806  (class class class)co 5569  ℂcc 7127  0cc0 7129  1c1 7130   # cap 7834   / cdiv 7913  2c2 8242  ℤcz 8518  ↑cexp 9658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3994  ax-un 4218  ax-setind 4310  ax-iinf 4360  ax-cnex 7215  ax-resscn 7216  ax-1cn 7217  ax-1re 7218  ax-icn 7219  ax-addcl 7220  ax-addrcl 7221  ax-mulcl 7222  ax-mulrcl 7223  ax-addcom 7224  ax-mulcom 7225  ax-addass 7226  ax-mulass 7227  ax-distr 7228  ax-i2m1 7229  ax-0lt1 7230  ax-1rid 7231  ax-0id 7232  ax-rnegex 7233  ax-precex 7234  ax-cnre 7235  ax-pre-ltirr 7236  ax-pre-ltwlin 7237  ax-pre-lttrn 7238  ax-pre-apti 7239  ax-pre-ltadd 7240  ax-pre-mulgt0 7241  ax-pre-mulext 7242

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4078  df-po 4081  df-iso 4082  df-iord 4151  df-on 4153  df-ilim 4154  df-suc 4156  df-iom 4363  df-xp 4400  df-rel 4401  df-cnv 4402  df-co 4403  df-dm 4404  df-rn 4405  df-res 4406  df-ima 4407  df-iota 4920  df-fun 4957  df-fn 4958  df-f 4959  df-f1 4960  df-fo 4961  df-f1o 4962  df-fv 4963  df-riota 5525  df-ov 5572  df-oprab 5573  df-mpt2 5574  df-1st 5824  df-2nd 5825  df-recs 5980  df-frec 6066  df-pnf 7303  df-mnf 7304  df-xr 7305  df-ltxr 7306  df-le 7307  df-sub 7434  df-neg 7435  df-reap 7828  df-ap 7835  df-div 7914  df-inn 8193  df-2 8251  df-n0 8442  df-z 8519  df-uz 8787  df-iseq 9608  df-iexp 9659

This theorem is referenced by: (None)