ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrtlt GIF version

Theorem sqrtlt 10050
Description: Square root is strictly monotonic. Closed form of sqrtlti 10150. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sqrtlt (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (√‘𝐴) < (√‘𝐵)))

Proof of Theorem sqrtlt
StepHypRef Expression
1 resqrtcl 10042 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
2 sqrtge0 10046 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
31, 2jca 300 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴)))
4 resqrtcl 10042 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (√‘𝐵) ∈ ℝ)
5 sqrtge0 10046 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (√‘𝐵))
64, 5jca 300 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐵)))
7 lt2sq 9635 . . 3 ((((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐵))) → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2)))
83, 6, 7syl2an 283 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((√‘𝐴) < (√‘𝐵) ↔ ((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2)))
9 resqrtth 10044 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
10 resqrtth 10044 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵)
119, 10breqan12d 3802 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((√‘𝐴)↑2) < ((√‘𝐵)↑2) ↔ 𝐴 < 𝐵))
128, 11bitr2d 187 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (√‘𝐴) < (√‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1434   class class class wbr 3787  cfv 4926  (class class class)co 5537  cr 7031  0cc0 7032   < clt 7204  cle 7205  2c2 8145  cexp 9561  csqrt 10009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146  ax-caucvg 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-if 3354  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-2 8154  df-3 8155  df-4 8156  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-rp 8805  df-iseq 9511  df-iexp 9562  df-rsqrt 10011
This theorem is referenced by:  sqrt11ap  10051  sqrt2gt1lt2  10062  sqrtlti  10150  sqrtltd  10185
  Copyright terms: Public domain W3C validator