Theorem sqrtrval 9209

Description: Value of square root function. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtrval	⊢ (A ∈ ℝ → (√‘A) = (℩x ∈ ℝ ((x↑2) = A ∧ 0 ≤ x)))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem sqrtrval

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2046	. . . 4 ⊢ (y = A → ((x↑2) = y ↔ (x↑2) = A))
2	1	anbi1d 438	. . 3 ⊢ (y = A → (((x↑2) = y ∧ 0 ≤ x) ↔ ((x↑2) = A ∧ 0 ≤ x)))
3	2	riotabidv 5413	. 2 ⊢ (y = A → (℩x ∈ ℝ ((x↑2) = y ∧ 0 ≤ x)) = (℩x ∈ ℝ ((x↑2) = A ∧ 0 ≤ x)))
4		df-rsqrt 9207	. 2 ⊢ √ = (y ∈ ℝ ↦ (℩x ∈ ℝ ((x↑2) = y ∧ 0 ≤ x)))
5		reex 6813	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
6		riotaexg 5415	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ V → (℩x ∈ ℝ ((x↑2) = A ∧ 0 ≤ x)) ∈ V)
7	5, 6	ax-mp 7	. 2 ⊢ (℩x ∈ ℝ ((x↑2) = A ∧ 0 ≤ x)) ∈ V
8	3, 4, 7	fvmpt 5192	1 ⊢ (A ∈ ℝ → (√‘A) = (℩x ∈ ℝ ((x↑2) = A ∧ 0 ≤ x)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  ℩crio 5410  (class class class)co 5455  ℝcr 6710  0cc0 6711   ≤ cle 6858  2c2 7744  ↑cexp 8908  √csqrt 9205

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-rsqrt 9207

This theorem is referenced by:  sqrt0  9213  sqrtsq  9214