Theorem ss0 3403

Description: Any subset of the empty set is empty. Theorem 5 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 13-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss0	⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem ss0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss0b 3402	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	biimpi 119	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-dif 3073  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364

This theorem is referenced by:  sseq0  3404  abf  3406  eq0rdv  3407  ssdisj  3419  0dif  3434  poirr2  4931  iotanul  5103  f00  5314  map0b  6581  phplem2  6747  php5dom  6757  sbthlem7  6851  fi0  6863  casefun  6970  caseinj  6974  djufun  6989  djuinj  6991  exmidomni  7014  ixxdisj  9686  icodisj  9775  ioodisj  9776  uzdisj  9873  nn0disj  9915  fsum2dlemstep  11203  ntrcls0  12300  nninfalllemn  13202