Theorem ssdmres 4836

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3079	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
2		dmres 4835	. . 3 ⊢ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐵)
3	2	eqeq1i 2145	. 2 ⊢ (dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ dom 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	bitr4i 186	1 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐵 ↔ dom (𝐵 ↾ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∩ cin 3065   ⊆ wss 3066  dom cdm 4534   ↾ cres 4536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-dm 4544  df-res 4546

This theorem is referenced by:  dmresi  4869  fnssresb  5230  fores  5349  foimacnv  5378  rdgivallem  6271  sbthlemi4  6841