ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssdomg GIF version

Theorem ssdomg 6347
Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 3937 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2 simpr 108 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
3 f1oi 5216 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
4 dff1o3 5184 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
53, 4mpbi 143 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴))
65simpli 109 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴
7 fof 5158 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴)
86, 7ax-mp 7 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴
9 fss 5105 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴𝐴𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵)
108, 9mpan 415 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵)
11 funi 4982 . . . . . . . 8 Fun I
12 cnvi 4778 . . . . . . . . 9 I = I
1312funeqi 4972 . . . . . . . 8 (Fun I ↔ Fun I )
1411, 13mpbir 144 . . . . . . 7 Fun I
15 funres11 5022 . . . . . . 7 (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
1614, 15ax-mp 7 . . . . . 6 Fun ( I ↾ 𝐴)
1710, 16jctir 306 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
18 df-f1 4957 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
1917, 18sylibr 132 . . . 4 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
2019adantr 270 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
21 f1dom2g 6325 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
221, 2, 20, 21syl3anc 1170 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴𝐵)
2322expcom 114 1 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1434  Vcvv 2610  wss 2982   class class class wbr 3805   I cid 4071  ccnv 4390  cres 4393  Fun wfun 4946  wf 4948  1-1wf1 4949  ontowfo 4950  1-1-ontowf1o 4951  cdom 6308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-dom 6311
This theorem is referenced by:  cnvct  6378  ssct  6384  xpdom3m  6400  phplem4dom  6419  nndomo  6421  phpm  6422  fict  6425  domfiexmid  6435  infnfi  6452  fihashss  9910  phicl2  10815  phibnd  10818
  Copyright terms: Public domain W3C validator