ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssdomg GIF version

Theorem ssdomg 6288
Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 3923 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2 simpr 107 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
3 f1oi 5191 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
4 dff1o3 5159 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
53, 4mpbi 137 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴))
65simpli 108 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴
7 fof 5133 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴)
86, 7ax-mp 7 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴
9 fss 5081 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝐴):𝐴𝐴𝐴𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵)
108, 9mpan 408 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵)
11 funi 4959 . . . . . . . 8 Fun I
12 cnvi 4755 . . . . . . . . 9 I = I
1312funeqi 4949 . . . . . . . 8 (Fun I ↔ Fun I )
1411, 13mpbir 138 . . . . . . 7 Fun I
15 funres11 4998 . . . . . . 7 (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
1614, 15ax-mp 7 . . . . . 6 Fun ( I ↾ 𝐴)
1710, 16jctir 300 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
18 df-f1 4934 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴𝐵 ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)))
1917, 18sylibr 141 . . . 4 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
2019adantr 265 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
21 f1dom2g 6266 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
221, 2, 20, 21syl3anc 1146 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴𝐵)
2322expcom 113 1 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wcel 1409  Vcvv 2574  wss 2944   class class class wbr 3791   I cid 4052  ccnv 4371  cres 4374  Fun wfun 4923  wf 4925  1-1wf1 4926  ontowfo 4927  1-1-ontowf1o 4928  cdom 6250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-dom 6253
This theorem is referenced by:  xpdom3m  6338  phplem4dom  6354  nndomo  6356  phpm  6357
  Copyright terms: Public domain W3C validator