Theorem sseld 3096

Description: Membership deduction from subclass relationship. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseld	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem sseld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		ssel 3091	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-in 3077  df-ss 3084

This theorem is referenced by:  sselda  3097  sseldd  3098  ssneld  3099  elelpwi  3522  ssbrd  3971  uniopel  4178  onintonm  4433  sucprcreg  4464  ordsuc  4478  0elnn  4532  dmrnssfld  4802  nfunv  5156  opelf  5294  fvimacnv  5535  ffvelrn  5553  resflem  5584  f1imass  5675  dftpos3  6159  nnmordi  6412  mapsn  6584  ixpf  6614  diffifi  6788  ordiso2  6920  difinfinf  6986  prarloclemarch2  7227  ltexprlemrl  7418  cauappcvgprlemladdrl  7465  caucvgprlemladdrl  7486  caucvgprlem1  7487  axpre-suploclemres  7709  uzind  9162  supinfneg  9390  infsupneg  9391  ixxssxr  9683  elfz0add  9900  fzoss1  9948  frecuzrdgrclt  10188  fsum3cvg  11147  isumrpcl  11263  fproddccvg  11341  lmtopcnp  12419  txuni2  12425  tx1cn  12438  tx2cn  12439  txlm  12448  imasnopn  12468  xmetunirn  12527  mopnval  12611  metrest  12675  dedekindicc  12780  ivthdec  12791  limcimolemlt  12802  bj-nnord  13156