Theorem sseq1d 3121

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
sseq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sseq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		sseq1 3115	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ⊆ wss 3066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-in 3072  df-ss 3079

This theorem is referenced by:  sseq12d  3123  eqsstrd  3128  snssg  3651  ssiun2s  3852  treq  4027  onsucsssucexmid  4437  funimass1  5195  feq1  5250  sbcfg  5266  fvmptssdm  5498  fvimacnvi  5527  nnsucsssuc  6381  ereq1  6429  elpm2r  6553  fipwssg  6860  nnnninf  7016  ctssexmid  7017  iscnp  12357  iscnp4  12376  cnntr  12383  cnconst2  12391  cnptopresti  12396  cnptoprest  12397  txbas  12416  txcnp  12429  txdis  12435  txdis1cn  12436  blssps  12585  blss  12586  ssblex  12589  blin2  12590  metss2  12656  metrest  12664  metcnp3  12669  cnopnap  12752  limccl  12786  ellimc3apf  12787