Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssoprab2b GIF version

Theorem ssoprab2b 5593
 Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2b 4039. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssoprab2b ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))

Proof of Theorem ssoprab2b
StepHypRef Expression
1 nfoprab1 5585 . . . 4 𝑥{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
2 nfoprab1 5585 . . . 4 𝑥{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
31, 2nfss 2993 . . 3 𝑥{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
4 nfoprab2 5586 . . . . 5 𝑦{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
5 nfoprab2 5586 . . . . 5 𝑦{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
64, 5nfss 2993 . . . 4 𝑦{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
7 nfoprab3 5587 . . . . . 6 𝑧{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
8 nfoprab3 5587 . . . . . 6 𝑧{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
97, 8nfss 2993 . . . . 5 𝑧{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
10 ssel 2994 . . . . . 6 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}))
11 oprabid 5568 . . . . . 6 (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
12 oprabid 5568 . . . . . 6 (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ 𝜓)
1310, 11, 123imtr3g 202 . . . . 5 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → (𝜑𝜓))
149, 13alrimi 1456 . . . 4 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → ∀𝑧(𝜑𝜓))
156, 14alrimi 1456 . . 3 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → ∀𝑦𝑧(𝜑𝜓))
163, 15alrimi 1456 . 2 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))
17 ssoprab2 5592 . 2 (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓})
1816, 17impbii 124 1 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103  ∀wal 1283   ∈ wcel 1434   ⊆ wss 2974  ⟨cop 3409  {coprab 5544 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-setind 4288 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-oprab 5547 This theorem is referenced by:  eqoprab2b  5594
 Copyright terms: Public domain W3C validator