Theorem subadd 7247

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem subadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 7236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2	1	eqeq1d 2062	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
3	2	3adant3 933	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
4		negeu 7235	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
5		oveq2 5545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
6	5	eqeq1d 2062	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
7	6	riota2 5515	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
8	4, 7	sylan2 274	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
9	8	3impb 1109	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
10	9	3com13 1118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
11	3, 10	bitr4d 184	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∧ w3a 894   = wceq 1257   ∈ wcel 1407  ∃!wreu 2323  ℩crio 5492  (class class class)co 5537  ℂcc 6915   + caddc 6920   − cmin 7215

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-setind 4287  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-br 3790  df-opab 3844  df-id 4055  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-sub 7217

This theorem is referenced by:  subadd2  7248  subsub23  7249  pncan  7250  pncan3  7252  addsubeq4  7259  subsub2  7272  renegcl  7305  subaddi  7331  subaddd  7373  fzen  8979  nn0ennn  9338  odd2np1  10147