ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subcan GIF version

Theorem subcan 7328
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subcan ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐴𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem subcan
StepHypRef Expression
1 simp2 916 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 simp1 915 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
31, 2addcomd 7224 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
43eqeq1d 2064 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶)))
5 simp3 917 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6 addsubeq4 7288 . . 3 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐶) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐴𝐶)))
71, 2, 2, 5, 6syl22anc 1147 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐶) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐴𝐶)))
8 addcan 7253 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
94, 7, 83bitr3d 211 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐴𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 102  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5539  cc 6944   + caddc 6949  cmin 7244
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-sub 7246
This theorem is referenced by:  subcani  7366  subcand  7425  subcanad  7427
  Copyright terms: Public domain W3C validator