ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subcl GIF version

Theorem subcl 7410
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 7403 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2 negeu 7402 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
32ancoms 264 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4 riotacl 5534 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
53, 4syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
61, 5eqeltrd 2159 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  ∃!wreu 2355  crio 5519  (class class class)co 5564  cc 7077   + caddc 7082  cmin 7382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-setind 4309  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-addcom 7174  ax-addass 7176  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-cnre 7185
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-sub 7384
This theorem is referenced by:  negcl  7411  subf  7413  pncan3  7419  npcan  7420  addsubass  7421  addsub  7422  addsub12  7424  addsubeq4  7426  npncan  7432  nppcan  7433  nnpcan  7434  nppcan3  7435  subcan2  7436  subsub2  7439  subsub4  7444  nnncan  7446  nnncan1  7447  nnncan2  7448  npncan3  7449  addsub4  7454  subadd4  7455  peano2cnm  7477  subcli  7487  subcld  7522  subeqrev  7583  subdi  7592  subdir  7593  mulsub2  7609  recextlem1  7844  recexap  7846  cju  8141  halfaddsubcl  8367  halfaddsub  8368  iccf1o  9138  isersub  9596  sqsubswap  9669  subsq  9714  subsq2  9715  bcn2  9824  shftval2  9899  2shfti  9904  sqabssub  10127  abssub  10172  abs3dif  10176  abs2dif  10177  abs2difabs  10179  climuni  10317  cjcn2  10339  recn2  10340  imcn2  10341  climsub  10351  fzocongeq  10450  odd2np1  10464  phiprm  10790
  Copyright terms: Public domain W3C validator