ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subcld GIF version

Theorem subcld 8041
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subcld (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subcl 7929 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2anc 408 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1465  (class class class)co 5742  cc 7586  cmin 7901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903
This theorem is referenced by:  pnpncand  8105  kcnktkm1cn  8113  muleqadd  8397  peano2zm  9060  peano5uzti  9127  modqmuladdnn0  10109  modsumfzodifsn  10137  hashfz  10535  hashfzo  10536  shftfvalg  10558  ovshftex  10559  shftfibg  10560  shftfval  10561  shftdm  10562  shftfib  10563  shftval  10565  2shfti  10571  crre  10597  remim  10600  remullem  10611  resqrexlemover  10750  resqrexlemcalc1  10754  abssubne0  10831  abs3lem  10851  caubnd2  10857  maxabslemlub  10947  maxabslemval  10948  maxcl  10950  minabs  10975  bdtrilem  10978  bdtri  10979  climuni  11030  mulcn2  11049  reccn2ap  11050  cn1lem  11051  climcvg1nlem  11086  fsumparts  11207  arisum2  11236  geosergap  11243  geo2sum2  11252  geoisum1c  11257  cvgratnnlemrate  11267  sinval  11336  sinf  11338  tanval2ap  11347  tanval3ap  11348  sinneg  11360  efival  11366  cos12dec  11401  addcncntoplem  12647  mulcncflem  12686  cnopnap  12690  limcimolemlt  12729  limcimo  12730  cnplimclemle  12733  limccnp2lem  12741  dvlemap  12745  dvconst  12757  dvid  12758  dvcnp2cntop  12759  dvaddxxbr  12761  dvmulxxbr  12762  dvcoapbr  12767  dvcjbr  12768  dvrecap  12773  dveflem  12782  dvef  12783  sin0pilem1  12789  ptolemy  12832  tangtx  12846  cosq34lt1  12858  qdencn  13149
  Copyright terms: Public domain W3C validator