ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subeq0d GIF version

Theorem subeq0d 7571
Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subeq0d.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = 0)
Assertion
Ref Expression
subeq0d (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem subeq0d
StepHypRef Expression
1 subeq0d.3 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵) = 0)
2 negidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 pncand.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 subeq0 7478 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
52, 3, 4syl2anc 403 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
61, 5mpbid 145 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5565  cc 7118  0cc0 7120  cmin 7423
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-setind 4309  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-cnre 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-sub 7425
This theorem is referenced by:  rereim  7830  cru  7846  crre  9970
  Copyright terms: Public domain W3C validator