ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subf GIF version

Theorem subf 7377
Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
subf − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

Proof of Theorem subf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 7367 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2 subcl 7374 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
31, 2eqeltrrd 2157 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ)
43rgen2a 2418 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ
5 df-sub 7348 . . 3 − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
65fmpt2 5858 . 2 (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ ↔ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
74, 6mpbi 143 1 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2349   × cxp 4369  wf 4928  crio 5498  (class class class)co 5543  cc 7041   + caddc 7046  cmin 7346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-sub 7348
This theorem is referenced by:  dfz2  8501
  Copyright terms: Public domain W3C validator