ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subne0d GIF version

Theorem subne0d 7394
Description: Two unequal numbers have nonzero difference. See also subap0d 7705 which is the same thing for apartness rather than negated equality. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
subne0d (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d
StepHypRef Expression
1 subne0d.3 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 negidd.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 pncand.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 subeq0 7300 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
52, 3, 4syl2anc 397 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
65necon3bid 2261 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴𝐵))
71, 6mpbird 160 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220  (class class class)co 5540  cc 6945  0cc0 6947  cmin 7245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-setind 4290  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-sub 7247
This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  9346
  Copyright terms: Public domain W3C validator