ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subneintr2d GIF version

Theorem subneintr2d 8087
Description: Introducing subtraction on both sides of a statement of inequality. Contrapositive of subcan2d 8083. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
subneintr2d.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
subneintr2d (𝜑 → (𝐴𝐶) ≠ (𝐵𝐶))

Proof of Theorem subneintr2d
StepHypRef Expression
1 subneintr2d.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 negidd.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 pncand.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 subaddd.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
52, 3, 4subcan2ad 8086 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐶) = (𝐵𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
65necon3bid 2326 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶) ≠ (𝐵𝐶) ↔ 𝐴𝐵))
71, 6mpbird 166 1 (𝜑 → (𝐴𝐶) ≠ (𝐵𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1465  wne 2285  (class class class)co 5742  cc 7586  cmin 7901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator