ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subsub2 GIF version

Theorem subsub2 7439
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subsub2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = (𝐴 + (𝐶𝐵)))

Proof of Theorem subsub2
StepHypRef Expression
1 subcl 7410 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
213adant1 957 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
3 simp1 939 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 simp3 941 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5 simp2 940 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 subcl 7410 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
74, 5, 6syl2anc 403 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
82, 3, 7add12d 7378 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + (𝐴 + (𝐶𝐵))) = (𝐴 + ((𝐵𝐶) + (𝐶𝐵))))
9 npncan2 7438 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + (𝐶𝐵)) = 0)
1093adant1 957 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + (𝐶𝐵)) = 0)
1110oveq2d 5580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((𝐵𝐶) + (𝐶𝐵))) = (𝐴 + 0))
123addid1d 7360 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
138, 11, 123eqtrd 2119 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + (𝐴 + (𝐶𝐵))) = 𝐴)
143, 7addcld 7236 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
15 subadd 7414 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (𝐶𝐵)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − (𝐵𝐶)) = (𝐴 + (𝐶𝐵)) ↔ ((𝐵𝐶) + (𝐴 + (𝐶𝐵))) = 𝐴))
163, 2, 14, 15syl3anc 1170 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − (𝐵𝐶)) = (𝐴 + (𝐶𝐵)) ↔ ((𝐵𝐶) + (𝐴 + (𝐶𝐵))) = 𝐴))
1713, 16mpbird 165 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = (𝐴 + (𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5564  cc 7077  0cc0 7079   + caddc 7082  cmin 7382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-setind 4309  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-addcom 7174  ax-addass 7176  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-cnre 7185
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-sub 7384
This theorem is referenced by:  nncan  7440  subsub  7441  subsub3  7443  ppncan  7453  subadd4  7455  subsub2d  7551
  Copyright terms: Public domain W3C validator