ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sucelon GIF version

Theorem sucelon 4257
Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
sucelon (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem sucelon
StepHypRef Expression
1 suceloni 4255 . 2 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
2 eloni 4140 . . 3 (suc 𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
3 elex 2583 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
4 sucexb 4251 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
53, 4sylibr 141 . . . 4 (suc 𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ V)
6 elong 4138 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
7 ordsucg 4256 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
86, 7bitrd 181 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
95, 8syl 14 . . 3 (suc 𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
102, 9mpbird 160 . 2 (suc 𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ On)
111, 10impbii 121 1 (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 102  wcel 1409  Vcvv 2574  Ord word 4127  Oncon0 4128  suc csuc 4130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-uni 3609  df-tr 3883  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136
This theorem is referenced by:  onsucmin  4261  onsucuni2  4316
  Copyright terms: Public domain W3C validator