ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suceq GIF version

Theorem suceq 4294
Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
suceq (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq
StepHypRef Expression
1 id 19 . . 3 (𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐵)
2 sneq 3508 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
31, 2uneq12d 3201 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4 df-suc 4263 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5 df-suc 4263 . 2 suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
63, 4, 53eqtr4g 2175 1 (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1316  cun 3039  {csn 3497  suc csuc 4257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-v 2662  df-un 3045  df-sn 3503  df-suc 4263
This theorem is referenced by:  eqelsuc  4311  2ordpr  4409  onsucsssucexmid  4412  onsucelsucexmid  4415  ordsucunielexmid  4416  suc11g  4442  onsucuni2  4449  0elsucexmid  4450  ordpwsucexmid  4455  peano2  4479  findes  4487  nn0suc  4488  0elnn  4502  omsinds  4505  tfr1onlemsucaccv  6206  tfrcllemsucaccv  6219  tfrcl  6229  frecabcl  6264  frecsuc  6272  sucinc  6309  sucinc2  6310  oacl  6324  oav2  6327  oasuc  6328  oa1suc  6331  nna0r  6342  nnacom  6348  nnaass  6349  nnmsucr  6352  nnsucelsuc  6355  nnsucsssuc  6356  nnaword  6375  nnaordex  6391  phplem3g  6718  nneneq  6719  php5  6720  php5dom  6725  omp1eomlem  6947  omp1eom  6948  indpi  7118  ennnfoneleminc  11851  ennnfonelemex  11854  bj-indsuc  13053  bj-bdfindes  13074  bj-nn0suc0  13075  bj-peano4  13080  bj-inf2vnlem1  13095  bj-nn0sucALT  13103  bj-findes  13106  nnsf  13126  nninfalllemn  13129  nninfsellemdc  13133  nninfself  13136  nninfsellemeqinf  13139  nninfomni  13142
  Copyright terms: Public domain W3C validator