ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sucexb GIF version

Theorem sucexb 4243
Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sucexb (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sucexb
StepHypRef Expression
1 unexb 4197 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
2 snexg 3958 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
32pm4.71i 383 . 2 (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V))
4 df-suc 4128 . . 3 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
54eleq1i 2145 . 2 (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
61, 3, 53bitr4i 210 1 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  wcel 1434  Vcvv 2602  cun 2972  {csn 3400  suc csuc 4122
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-uni 3604  df-suc 4128
This theorem is referenced by:  sucexg  4244  sucelon  4249  onsucelsucr  4254  sucunielr  4256  peano2b  4357
  Copyright terms: Public domain W3C validator