Theorem sucprc 4334

Description: A proper class is its own successor. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sucprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4293	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2		snprc 3588	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
3		uneq2 3224	. . . 4 ⊢ ({𝐴} = ∅ → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐴 ∪ ∅))
4	2, 3	sylbi 120	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐴 ∪ ∅))
5	1, 4	syl5eq 2184	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = (𝐴 ∪ ∅))
6		un0 3396	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
7	5, 6	syl6eq 2188	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∪ cun 3069  ∅c0 3363  {csn 3527  suc csuc 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-nul 3364  df-sn 3533  df-suc 4293

This theorem is referenced by:  sucprcreg  4464  sucon  4468