ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  swoord1 GIF version

Theorem swoord1 6222
Description: The incomparability equivalence relation is compatible with the original order. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
swoer.1 𝑅 = ((𝑋 × 𝑋) ∖ ( < < ))
swoer.2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦 < 𝑧 → ¬ 𝑧 < 𝑦))
swoer.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)))
swoord.4 (𝜑𝐵𝑋)
swoord.5 (𝜑𝐶𝑋)
swoord.6 (𝜑𝐴𝑅𝐵)
Assertion
Ref Expression
swoord1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧, <   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem swoord1
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4 (𝜑𝜑)
2 swoord.6 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑅𝐵)
3 swoer.1 . . . . . . 7 𝑅 = ((𝑋 × 𝑋) ∖ ( < < ))
4 difss 3108 . . . . . . 7 ((𝑋 × 𝑋) ∖ ( < < )) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
53, 4eqsstri 3038 . . . . . 6 𝑅 ⊆ (𝑋 × 𝑋)
65ssbri 3847 . . . . 5 (𝐴𝑅𝐵𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵)
7 df-br 3806 . . . . . 6 (𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
8 opelxp1 4423 . . . . . 6 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) → 𝐴𝑋)
97, 8sylbi 119 . . . . 5 (𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵𝐴𝑋)
102, 6, 93syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
11 swoord.5 . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
12 swoord.4 . . . 4 (𝜑𝐵𝑋)
13 swoer.3 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)))
1413swopolem 4088 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋𝐶𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 < 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)))
151, 10, 11, 12, 14syl13anc 1172 . . 3 (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 → (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)))
163brdifun 6220 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
1710, 12, 16syl2anc 403 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
182, 17mpbid 145 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴))
19 orc 666 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴))
2018, 19nsyl 591 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)
21 biorf 696 . . . 4 𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)))
2220, 21syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)))
2315, 22sylibrd 167 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶))
2413swopolem 4088 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
251, 12, 11, 10, 24syl13anc 1172 . . 3 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
26 olc 665 . . . . 5 (𝐵 < 𝐴 → (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴))
2718, 26nsyl 591 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
28 biorf 696 . . . 4 𝐵 < 𝐴 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
2927, 28syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
3025, 29sylibrd 167 . 2 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
3123, 30impbid 127 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  cdif 2979  cun 2980  cop 3419   class class class wbr 3805   × cxp 4389  ccnv 4390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2611  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-cnv 4399
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator