ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfr0 GIF version

Theorem tfr0 6188
Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
tfr.1 𝐹 = recs(𝐺)
Assertion
Ref Expression
tfr0 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Proof of Theorem tfr0
StepHypRef Expression
1 tfr.1 . . . 4 𝐹 = recs(𝐺)
21tfr0dm 6187 . . 3 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ dom 𝐹)
31tfr2a 6186 . . 3 (∅ ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
42, 3syl 14 . 2 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
5 res0 4793 . . 3 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
65fveq2i 5392 . 2 (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
74, 6syl6eq 2166 1 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1316  wcel 1465  c0 3333  dom cdm 4509  cres 4511  cfv 5093  recscrecs 6169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-res 4521  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-fv 5101  df-recs 6170
This theorem is referenced by:  rdg0  6252  frec0g  6262
  Copyright terms: Public domain W3C validator