ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfr0 GIF version

Theorem tfr0 5965
Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
tfr.1 𝐹 = recs(𝐺)
Assertion
Ref Expression
tfr0 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Proof of Theorem tfr0
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3909 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 opexg 3989 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝑉) → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ V)
31, 2mpan 408 . . . 4 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ V)
4 snidg 3425 . . . 4 (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ V → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩})
53, 4syl 14 . . 3 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩})
6 fnsng 4972 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝑉) → {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅})
71, 6mpan 408 . . . 4 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅})
8 fvsng 5384 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝑉) → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘∅))
91, 8mpan 408 . . . . . 6 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘∅))
10 res0 4641 . . . . . . 7 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅) = ∅
1110fveq2i 5206 . . . . . 6 (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
129, 11syl6eqr 2104 . . . . 5 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅)))
13 fveq2 5203 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅))
14 reseq2 4632 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦) = ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅))
1514fveq2d 5207 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅)))
1613, 15eqeq12d 2068 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅))))
171, 16ralsn 3439 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘∅) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ ∅)))
1812, 17sylibr 141 . . . 4 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∀𝑦 ∈ {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))
19 suc0 4173 . . . . . 6 suc ∅ = {∅}
20 0elon 4154 . . . . . . 7 ∅ ∈ On
2120onsuci 4267 . . . . . 6 suc ∅ ∈ On
2219, 21eqeltrri 2125 . . . . 5 {∅} ∈ On
23 fneq2 5013 . . . . . . 7 (𝑥 = {∅} → ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ↔ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅}))
24 raleq 2520 . . . . . . 7 (𝑥 = {∅} → (∀𝑦𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))
2523, 24anbi12d 450 . . . . . 6 (𝑥 = {∅} → (({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅} ∧ ∀𝑦 ∈ {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))))
2625rspcev 2671 . . . . 5 (({∅} ∈ On ∧ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅} ∧ ∀𝑦 ∈ {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))
2722, 26mpan 408 . . . 4 (({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn {∅} ∧ ∀𝑦 ∈ {∅} ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))
287, 18, 27syl2anc 397 . . 3 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))
29 snexg 3961 . . . . 5 (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ V → {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ∈ V)
30 eleq2 2115 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝑓 ↔ ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}))
31 fneq1 5012 . . . . . . . . 9 (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (𝑓 Fn 𝑥 ↔ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥))
32 fveq1 5202 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (𝑓𝑦) = ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦))
33 reseq1 4631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (𝑓𝑦) = ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))
3433fveq2d 5207 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (𝐺‘(𝑓𝑦)) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))
3532, 34eqeq12d 2068 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → ((𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))
3635ralbidv 2341 . . . . . . . . 9 (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))
3731, 36anbi12d 450 . . . . . . . 8 (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → ((𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦))) ↔ ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))))
3837rexbidv 2342 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → (∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))))
3930, 38anbi12d 450 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} → ((⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝑓 ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)))) ↔ (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ∧ ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦))))))
4039spcegv 2656 . . . . 5 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ∈ V → ((⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ∧ ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))) → ∃𝑓(⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝑓 ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦))))))
413, 29, 403syl 17 . . . 4 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ((⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ∧ ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))) → ∃𝑓(⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝑓 ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦))))))
42 tfr.1 . . . . . 6 𝐹 = recs(𝐺)
4342eleq2i 2118 . . . . 5 (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹 ↔ ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ recs(𝐺))
44 df-recs 5948 . . . . . 6 recs(𝐺) = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)))}
4544eleq2i 2118 . . . . 5 (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ recs(𝐺) ↔ ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)))})
46 eluniab 3617 . . . . 5 (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)))} ↔ ∃𝑓(⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝑓 ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)))))
4743, 45, 463bitri 199 . . . 4 (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑓(⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝑓 ∧ ∃𝑥 ∈ On (𝑓 Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)))))
4841, 47syl6ibr 155 . . 3 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ((⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ {⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ∧ ∃𝑥 ∈ On ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩}‘𝑦) = (𝐺‘({⟨∅, (𝐺‘∅)⟩} ↾ 𝑦)))) → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹))
495, 28, 48mp2and 417 . 2 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹)
50 opeldmg 4565 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝑉) → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹 → ∅ ∈ dom 𝐹))
511, 50mpan 408 . . . 4 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹 → ∅ ∈ dom 𝐹))
5242tfr2a 5964 . . . 4 (∅ ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
5351, 52syl6 33 . . 3 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅))))
54 res0 4641 . . . . 5 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
5554fveq2i 5206 . . . 4 (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
5655eqeq2i 2064 . . 3 ((𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)) ↔ (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))
5753, 56syl6ib 154 . 2 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (⟨∅, (𝐺‘∅)⟩ ∈ 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅)))
5849, 57mpd 13 1 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1257  wex 1395  wcel 1407  {cab 2040  wral 2321  wrex 2322  Vcvv 2572  c0 3249  {csn 3400  cop 3403   cuni 3605  Oncon0 4125  suc csuc 4127  dom cdm 4370  cres 4372   Fn wfn 4922  cfv 4927  recscrecs 5947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ral 2326  df-rex 2327  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-id 4055  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-res 4382  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-fv 4935  df-recs 5948
This theorem is referenced by:  rdg0  6002  frec0g  6011
  Copyright terms: Public domain W3C validator