ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfr0 GIF version

Theorem tfr0 5972
Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
tfr.1 𝐹 = recs(𝐺)
Assertion
Ref Expression
tfr0 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))

Proof of Theorem tfr0
StepHypRef Expression
1 tfr.1 . . . 4 𝐹 = recs(𝐺)
21tfr0dm 5971 . . 3 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ dom 𝐹)
31tfr2a 5970 . . 3 (∅ ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
42, 3syl 14 . 2 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)))
5 res0 4644 . . 3 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
65fveq2i 5212 . 2 (𝐺‘(𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺‘∅)
74, 6syl6eq 2130 1 ((𝐺‘∅) ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (𝐺‘∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  c0 3258  dom cdm 4371  cres 4373  cfv 4932  recscrecs 5953
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-res 4383  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-fv 4940  df-recs 5954
This theorem is referenced by:  rdg0  6036  frec0g  6046
  Copyright terms: Public domain W3C validator