Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrcllembfn GIF version

Theorem tfrcllembfn 6026
 Description: Lemma for tfrcl 6033. The union of 𝐵 is a function defined on 𝑥. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f 𝐹 = recs(𝐺)
tfrcl.g (𝜑 → Fun 𝐺)
tfrcl.x (𝜑 → Ord 𝑋)
tfrcl.ex ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
tfrcllemsucfn.1 𝐴 = {𝑓 ∣ ∃𝑥𝑋 (𝑓:𝑥𝑆 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)))}
tfrcllembacc.3 𝐵 = { ∣ ∃𝑧𝐷𝑔(𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))}
tfrcllembacc.u ((𝜑𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
tfrcllembacc.4 (𝜑𝐷𝑋)
tfrcllembacc.5 (𝜑 → ∀𝑧𝐷𝑔(𝑔:𝑧𝑆 ∧ ∀𝑤𝑧 (𝑔𝑤) = (𝐺‘(𝑔𝑤))))
Assertion
Ref Expression
tfrcllembfn (𝜑 𝐵:𝐷𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑥,𝑦   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑓,𝑔,,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑔,,𝑧   𝑤,𝐵,𝑔,𝑧   𝐷,,𝑧   ,𝐺,𝑧   𝑤,𝐺,𝑦   𝑆,𝑔,,𝑧   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑓,𝑔,)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑦,𝑤,𝑔,)

Proof of Theorem tfrcllembfn
StepHypRef Expression
1 tfrcl.f . . . . . . 7 𝐹 = recs(𝐺)
2 tfrcl.g . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐺)
3 tfrcl.x . . . . . . 7 (𝜑 → Ord 𝑋)
4 tfrcl.ex . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
5 tfrcllemsucfn.1 . . . . . . 7 𝐴 = {𝑓 ∣ ∃𝑥𝑋 (𝑓:𝑥𝑆 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝐺‘(𝑓𝑦)))}
6 tfrcllembacc.3 . . . . . . 7 𝐵 = { ∣ ∃𝑧𝐷𝑔(𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))}
7 tfrcllembacc.u . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
8 tfrcllembacc.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑋)
9 tfrcllembacc.5 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧𝐷𝑔(𝑔:𝑧𝑆 ∧ ∀𝑤𝑧 (𝑔𝑤) = (𝐺‘(𝑔𝑤))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembacc 6024 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
1110unissd 3645 . . . . 5 (𝜑 𝐵 𝐴)
125, 3tfrcllemssrecs 6021 . . . . 5 (𝜑 𝐴 ⊆ recs(𝐺))
1311, 12sstrd 3018 . . . 4 (𝜑 𝐵 ⊆ recs(𝐺))
14 tfrfun 5989 . . . 4 Fun recs(𝐺)
15 funss 4970 . . . 4 ( 𝐵 ⊆ recs(𝐺) → (Fun recs(𝐺) → Fun 𝐵))
1613, 14, 15mpisyl 1376 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐵)
17 simpr3 947 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))
18 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐷) → 𝜑)
193adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐷) → Ord 𝑋)
20 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝐷) → 𝑧𝐷)
218adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝐷) → 𝐷𝑋)
2220, 21jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐷) → (𝑧𝐷𝐷𝑋))
23 ordtr1 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝑋 → ((𝑧𝐷𝐷𝑋) → 𝑧𝑋))
2419, 22, 23sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐷) → 𝑧𝑋)
2518, 24jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐷) → (𝜑𝑧𝑋))
262ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → Fun 𝐺)
273ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → Ord 𝑋)
2843adant1r 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
29283adant1r 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
30 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → 𝑧𝑋)
31 simpr1 945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → 𝑔:𝑧𝑆)
32 simpr2 946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → 𝑔𝐴)
331, 26, 27, 29, 5, 30, 31, 32tfrcllemsucfn 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆)
3425, 33sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆)
35 fssxp 5109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}):suc 𝑧𝑆 → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}) ⊆ (suc 𝑧 × 𝑆))
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}) ⊆ (suc 𝑧 × 𝑆))
37 ordelon 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Ord 𝑋𝐷𝑋) → 𝐷 ∈ On)
383, 8, 37syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ On)
39 eloni 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷 ∈ On → Ord 𝐷)
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → Ord 𝐷)
4140ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → Ord 𝐷)
42 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → 𝑧𝐷)
43 ordsucss 4276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ord 𝐷 → (𝑧𝐷 → suc 𝑧𝐷))
4441, 42, 43sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → suc 𝑧𝐷)
45 xpss1 4496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (suc 𝑧𝐷 → (suc 𝑧 × 𝑆) ⊆ (𝐷 × 𝑆))
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → (suc 𝑧 × 𝑆) ⊆ (𝐷 × 𝑆))
4736, 46sstrd 3018 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}) ⊆ (𝐷 × 𝑆))
48 vex 2613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑔 ∈ V
49 vex 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑧 ∈ V
5018adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → 𝜑)
5124adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → 𝑧𝑋)
52 simpr1 945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → 𝑔:𝑧𝑆)
53 feq2 5082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (𝑓:𝑥𝑆𝑓:𝑧𝑆))
5453imbi1d 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
5554albidv 1747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
5643expia 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
5756alrimiv 1797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
5857ralrimiva 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
59583ad2ant1 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝑋𝑔:𝑧𝑆) → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
60 simp2 940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝑋𝑔:𝑧𝑆) → 𝑧𝑋)
6155, 59, 60rspcdva 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝑋𝑔:𝑧𝑆) → ∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
62 simp3 941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝑋𝑔:𝑧𝑆) → 𝑔:𝑧𝑆)
63 feq1 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓:𝑧𝑆𝑔:𝑧𝑆))
64 fveq2 5229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑔 → (𝐺𝑓) = (𝐺𝑔))
6564eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝑔 → ((𝐺𝑓) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑔) ∈ 𝑆))
6663, 65imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑔:𝑧𝑆 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆)))
6766spv 1783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑓(𝑓:𝑧𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) → (𝑔:𝑧𝑆 → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆))
6861, 62, 67sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝑋𝑔:𝑧𝑆) → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆)
6950, 51, 52, 68syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → (𝐺𝑔) ∈ 𝑆)
70 opexg 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ V ∧ (𝐺𝑔) ∈ 𝑆) → ⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩ ∈ V)
7149, 69, 70sylancr 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → ⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩ ∈ V)
72 snexg 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩ ∈ V → {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩} ∈ V)
7371, 72syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩} ∈ V)
74 unexg 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ V ∧ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩} ∈ V) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}) ∈ V)
7548, 73, 74sylancr 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}) ∈ V)
76 elpwg 3408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}) ∈ V → ((𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}) ∈ 𝒫 (𝐷 × 𝑆) ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}) ⊆ (𝐷 × 𝑆)))
7775, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → ((𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}) ∈ 𝒫 (𝐷 × 𝑆) ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}) ⊆ (𝐷 × 𝑆)))
7847, 77mpbird 165 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}) ∈ 𝒫 (𝐷 × 𝑆))
7917, 78eqeltrd 2159 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ (𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))) → ∈ 𝒫 (𝐷 × 𝑆))
8079ex 113 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐷) → ((𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩})) → ∈ 𝒫 (𝐷 × 𝑆)))
8180exlimdv 1742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐷) → (∃𝑔(𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩})) → ∈ 𝒫 (𝐷 × 𝑆)))
8281rexlimdva 2482 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑧𝐷𝑔(𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩})) → ∈ 𝒫 (𝐷 × 𝑆)))
8382abssdv 3077 . . . . . . . 8 (𝜑 → { ∣ ∃𝑧𝐷𝑔(𝑔:𝑧𝑆𝑔𝐴 = (𝑔 ∪ {⟨𝑧, (𝐺𝑔)⟩}))} ⊆ 𝒫 (𝐷 × 𝑆))
846, 83syl5eqss 3052 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ 𝒫 (𝐷 × 𝑆))
85 sspwuni 3780 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ 𝒫 (𝐷 × 𝑆) ↔ 𝐵 ⊆ (𝐷 × 𝑆))
8684, 85sylib 120 . . . . . 6 (𝜑 𝐵 ⊆ (𝐷 × 𝑆))
87 dmss 4582 . . . . . 6 ( 𝐵 ⊆ (𝐷 × 𝑆) → dom 𝐵 ⊆ dom (𝐷 × 𝑆))
8886, 87syl 14 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐵 ⊆ dom (𝐷 × 𝑆))
89 dmxpss 4803 . . . . 5 dom (𝐷 × 𝑆) ⊆ 𝐷
9088, 89syl6ss 3020 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐵𝐷)
911, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembxssdm 6025 . . . 4 (𝜑𝐷 ⊆ dom 𝐵)
9290, 91eqssd 3025 . . 3 (𝜑 → dom 𝐵 = 𝐷)
93 df-fn 4955 . . 3 ( 𝐵 Fn 𝐷 ↔ (Fun 𝐵 ∧ dom 𝐵 = 𝐷))
9416, 92, 93sylanbrc 408 . 2 (𝜑 𝐵 Fn 𝐷)
95 rnss 4612 . . . 4 ( 𝐵 ⊆ (𝐷 × 𝑆) → ran 𝐵 ⊆ ran (𝐷 × 𝑆))
9686, 95syl 14 . . 3 (𝜑 → ran 𝐵 ⊆ ran (𝐷 × 𝑆))
97 rnxpss 4804 . . 3 ran (𝐷 × 𝑆) ⊆ 𝑆
9896, 97syl6ss 3020 . 2 (𝜑 → ran 𝐵𝑆)
99 df-f 4956 . 2 ( 𝐵:𝐷𝑆 ↔ ( 𝐵 Fn 𝐷 ∧ ran 𝐵𝑆))
10094, 98, 99sylanbrc 408 1 (𝜑 𝐵:𝐷𝑆)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 920  ∀wal 1283   = wceq 1285  ∃wex 1422   ∈ wcel 1434  {cab 2069  ∀wral 2353  ∃wrex 2354  Vcvv 2610   ∪ cun 2980   ⊆ wss 2982  𝒫 cpw 3400  {csn 3416  ⟨cop 3419  ∪ cuni 3621  Ord word 4145  Oncon0 4146  suc csuc 4148   × cxp 4389  dom cdm 4391  ran crn 4392   ↾ cres 4393  Fun wfun 4946   Fn wfn 4947  ⟶wf 4948  ‘cfv 4952  recscrecs 5973 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-recs 5974 This theorem is referenced by:  tfrcllembex  6027  tfrcllemubacc  6028  tfrcllemex  6029
 Copyright terms: Public domain W3C validator