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Theorem tfrlem1 5953
Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ On)
tfrlem1.2 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
tfrlem1.3 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
tfrlem1.4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
tfrlem1.5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
Assertion
Ref Expression
tfrlem1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem tfrlem1
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 2991 . 2 𝐴𝐴
2 tfrlem1.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 sseq1 2993 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝐴𝐴𝐴))
4 raleq 2522 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
53, 4imbi12d 227 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
65imbi2d 223 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
7 sseq1 2993 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
8 raleq 2522 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
97, 8imbi12d 227 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
109imbi2d 223 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
11 r19.21v 2413 . . . . . 6 (∀𝑧𝑦 (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
12 simplll 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → 𝜑)
1312adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝜑)
14 tfrlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
1615simpld 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → Fun 𝐹)
17 funfn 4958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
1816, 17sylib 131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
19 simpllr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
20 eloni 4139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ On → Ord 𝑦)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → Ord 𝑦)
22 ordelss 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Ord 𝑦𝑤𝑦) → 𝑤𝑦)
2321, 22sylan 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝑦)
24 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑦𝐴)
2523, 24sstrd 2982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝐴)
2615simprd 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
2725, 26sstrd 2982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ⊆ dom 𝐹)
28 fnssres 5039 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑤 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑤) Fn 𝑤)
2918, 27, 28syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) Fn 𝑤)
30 tfrlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
3113, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
3231simpld 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → Fun 𝐺)
33 funfn 4958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun 𝐺𝐺 Fn dom 𝐺)
3432, 33sylib 131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
3531simprd 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐴 ⊆ dom 𝐺)
3625, 35sstrd 2982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ⊆ dom 𝐺)
37 fnssres 5039 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 Fn dom 𝐺𝑤 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑤) Fn 𝑤)
3834, 36, 37syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐺𝑤) Fn 𝑤)
39 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑢𝑤)
40 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑤𝑦)
41 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
4241ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
4325adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑤𝐴)
44 sseq1 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
45 raleq 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
4644, 45imbi12d 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝑤𝐴 → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
4746rspcv 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝑦 → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑤𝐴 → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
4840, 42, 43, 47syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
49 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑢 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑢))
50 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑢 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑢))
5149, 50eqeq12d 2070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑢) = (𝐺𝑢)))
5251rspcv 2669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑤 → (∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) → (𝐹𝑢) = (𝐺𝑢)))
5339, 48, 52sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → (𝐹𝑢) = (𝐺𝑢))
54 fvres 5225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑤 → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
5554adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
56 fvres 5225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑤 → ((𝐺𝑤)‘𝑢) = (𝐺𝑢))
5756adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐺𝑤)‘𝑢) = (𝐺𝑢))
5853, 55, 573eqtr4d 2098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = ((𝐺𝑤)‘𝑢))
5929, 38, 58eqfnfvd 5295 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
6059fveq2d 5209 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐵‘(𝐹𝑤)) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
61 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
6261sselda 2972 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝐴)
63 tfrlem1.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
6413, 63syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
65 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
66 reseq2 4634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
6766fveq2d 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵‘(𝐹𝑥)) = (𝐵‘(𝐹𝑤)))
6865, 67eqeq12d 2070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)) ↔ (𝐹𝑤) = (𝐵‘(𝐹𝑤))))
6968rspcva 2671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥))) → (𝐹𝑤) = (𝐵‘(𝐹𝑤)))
7062, 64, 69syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐵‘(𝐹𝑤)))
71 tfrlem1.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
7213, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
73 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑤))
74 reseq2 4634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑤))
7574fveq2d 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵‘(𝐺𝑥)) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
7673, 75eqeq12d 2070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)) ↔ (𝐺𝑤) = (𝐵‘(𝐺𝑤))))
7776rspcva 2671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥))) → (𝐺𝑤) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
7862, 72, 77syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐺𝑤) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
7960, 70, 783eqtr4d 2098 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
8079ralrimiva 2409 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑤𝑦 (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
8165, 73eqeq12d 2070 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
8281cbvralv 2550 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤𝑦 (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
8380, 82sylibr 141 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
8483exp31 350 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ On) → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
8584expcom 113 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ On → (𝜑 → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
8685a2d 26 . . . . . 6 (𝑦 ∈ On → ((𝜑 → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
8711, 86syl5bi 145 . . . . 5 (𝑦 ∈ On → (∀𝑧𝑦 (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
8810, 87tfis2 4335 . . . 4 (𝑦 ∈ On → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
896, 88vtoclga 2636 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
902, 89mpcom 36 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
911, 90mpi 15 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  wss 2944  Ord word 4126  Oncon0 4127  dom cdm 4372  cres 4374  Fun wfun 4923   Fn wfn 4924  cfv 4929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-res 4384  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-fv 4937
This theorem is referenced by:  tfrlem5  5960
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