ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposexg GIF version

Theorem tposexg 5927
Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposexg (𝐹𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem tposexg
StepHypRef Expression
1 tposssxp 5918 . 2 tpos 𝐹 ⊆ ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹)
2 dmexg 4644 . . . . 5 (𝐹𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3 cnvexg 4905 . . . . 5 (dom 𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
42, 3syl 14 . . . 4 (𝐹𝑉dom 𝐹 ∈ V)
5 p0ex 3979 . . . 4 {∅} ∈ V
6 unexg 4224 . . . 4 ((dom 𝐹 ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
74, 5, 6sylancl 404 . . 3 (𝐹𝑉 → (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
8 rnexg 4645 . . 3 (𝐹𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
9 xpexg 4500 . . 3 (((dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V ∧ ran 𝐹 ∈ V) → ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V)
107, 8, 9syl2anc 403 . 2 (𝐹𝑉 → ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V)
11 ssexg 3937 . 2 ((tpos 𝐹 ⊆ ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∧ ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V) → tpos 𝐹 ∈ V)
121, 10, 11sylancr 405 1 (𝐹𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434  Vcvv 2610  cun 2980  wss 2982  c0 3267  {csn 3416   × cxp 4389  ccnv 4390  dom cdm 4391  ran crn 4392  tpos ctpos 5913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-tpos 5914
This theorem is referenced by:  tposex  5947
  Copyright terms: Public domain W3C validator