ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposexg GIF version

Theorem tposexg 5903
Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposexg (𝐹𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem tposexg
StepHypRef Expression
1 tposssxp 5894 . 2 tpos 𝐹 ⊆ ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹)
2 dmexg 4623 . . . . 5 (𝐹𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3 cnvexg 4882 . . . . 5 (dom 𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
42, 3syl 14 . . . 4 (𝐹𝑉dom 𝐹 ∈ V)
5 p0ex 3966 . . . 4 {∅} ∈ V
6 unexg 4205 . . . 4 ((dom 𝐹 ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
74, 5, 6sylancl 398 . . 3 (𝐹𝑉 → (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V)
8 rnexg 4624 . . 3 (𝐹𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
9 xpexg 4479 . . 3 (((dom 𝐹 ∪ {∅}) ∈ V ∧ ran 𝐹 ∈ V) → ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V)
107, 8, 9syl2anc 397 . 2 (𝐹𝑉 → ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V)
11 ssexg 3923 . 2 ((tpos 𝐹 ⊆ ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∧ ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ∈ V) → tpos 𝐹 ∈ V)
121, 10, 11sylancr 399 1 (𝐹𝑉 → tpos 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409  Vcvv 2574  cun 2942  wss 2944  c0 3251  {csn 3402   × cxp 4370  ccnv 4371  dom cdm 4372  ran crn 4373  tpos ctpos 5889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-tpos 5890
This theorem is referenced by:  tposex  5923
  Copyright terms: Public domain W3C validator