Theorem ubmelfzo 9356

Description: If an integer in a 1 based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelfzo	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 941	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
2		nnnn0 8432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		nnnn0 8432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	anim12i 331	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
5	4	3adant3 959	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
6		nn0sub 8568	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
8	1, 7	mpbid 145	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
9		simp2 940	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10		nngt0 8201	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
11	10	3ad2ant1 960	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 < 𝐾)
12		nnre 8183	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
13		nnre 8183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	anim12i 331	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
15	14	3adant3 959	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
16		ltsubpos 7695	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0 < 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
18	11, 17	mpbid 145	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
19	8, 9, 18	3jca 1119	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
20		elfz1b 9253	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
21		elfzo0 9338	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 𝑁))
22	19, 20, 21	3imtr4i 199	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 920   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5564  ℝcr 7112  0cc0 7113  1c1 7114   < clt 7285   ≤ cle 7286   − cmin 7416  ℕcn 8176  ℕ₀cn0 8425  ...cfz 9175  ..^cfzo 9299

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-addcom 7208  ax-addass 7210  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-ltadd 7224

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-inn 8177  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-fz 9176  df-fzo 9300

This theorem is referenced by: (None)