Theorem un0 3396

Description: The union of a class with the empty set is itself. Theorem 24 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
un0	⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴

Proof of Theorem un0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3367	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	biorfi 735	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ∅))
3	2	bicomi 131	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ∅) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
4	3	uneqri 3218	1 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴

Syntax hints:   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∪ cun 3069  ∅c0 3363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-nul 3364

This theorem is referenced by:  un00  3409  disjssun  3426  difun2  3442  difdifdirss  3447  disjpr2  3587  prprc1  3631  diftpsn3  3661  iununir  3896  suc0  4333  sucprc  4334  fvun1  5487  fmptpr  5612  fvunsng  5614  fvsnun1  5617  fvsnun2  5618  fsnunfv  5621  fsnunres  5622  rdg0  6284  omv2  6361  unsnfidcex  6808  unfidisj  6810  undifdc  6812  ssfirab  6822  dju0en  7070  djuassen  7073  fzsuc2  9859  fseq1p1m1  9874  hashunlem  10550  ennnfonelem1  11920  setsresg  11997  setsslid  12009  exmid1stab  13195