ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  un0addcl GIF version

Theorem un0addcl 8242
Description: If 𝑆 is closed under addition, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0addcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
un0addcl ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0addcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
21eleq2i 2118 . . . 4 (𝑁𝑇𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3 elun 3109 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
42, 3bitri 177 . . 3 (𝑁𝑇 ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
51eleq2i 2118 . . . . . 6 (𝑀𝑇𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6 elun 3109 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
75, 6bitri 177 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
8 ssun1 3131 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
98, 1sseqtr4i 3003 . . . . . . . 8 𝑆𝑇
10 un0addcl.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)
119, 10sseldi 2968 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)
1211expr 361 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑆) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1413sselda 2970 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
1514addid2d 7194 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
169a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑇)
1716sselda 2970 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑆) → 𝑁𝑇)
1815, 17eqeltrd 2128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 + 𝑁) ∈ 𝑇)
19 elsni 3418 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
2019oveq1d 5552 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
2120eleq1d 2120 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 + 𝑁) ∈ 𝑇))
2218, 21syl5ibrcom 150 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
2322impancom 251 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ {0}) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
2412, 23jaodan 719 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0})) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
257, 24sylan2b 275 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
26 0cnd 7048 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2726snssd 3534 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
2813, 27unssd 3144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
291, 28syl5eqss 3014 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
3029sselda 2970 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
3130addid1d 7193 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
32 simpr 107 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑇) → 𝑀𝑇)
3331, 32eqeltrd 2128 . . . . 5 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 + 0) ∈ 𝑇)
34 elsni 3418 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
3534oveq2d 5553 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
3635eleq1d 2120 . . . . 5 (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 + 0) ∈ 𝑇))
3733, 36syl5ibrcom 150 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
3825, 37jaod 645 . . 3 ((𝜑𝑀𝑇) → ((𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
394, 38syl5bi 145 . 2 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑇 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
4039impr 365 1 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wo 637   = wceq 1257  wcel 1407  cun 2940  wss 2942  {csn 3400  (class class class)co 5537  cc 6915  0cc0 6917   + caddc 6920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-1cn 7005  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-nf 1364  df-sb 1660  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-rex 2327  df-v 2574  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-br 3790  df-iota 4892  df-fv 4935  df-ov 5540
This theorem is referenced by:  nn0addcl  8244
  Copyright terms: Public domain W3C validator