Theorem un0addcl 9003

Description: If 𝑆 is closed under addition, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2	⊢ 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0addcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
un0addcl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
2	1	eleq2i 2204	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑇 ↔ 𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3		elun 3212	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}))
4	2, 3	bitri 183	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑇 ↔ (𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}))
5	1	eleq2i 2204	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ 𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6		elun 3212	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0}))
7	5, 6	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0}))
8		ssun1 3234	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
9	8, 1	sseqtrri 3127	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
10		un0addcl.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)
11	9, 10	sseldi 3090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)
12	11	expr 372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
14	13	sselda 3092	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	addid2d 7905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
16	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
17	16	sselda 3092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ 𝑇)
18	15, 17	eqeltrd 2214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (0 + 𝑁) ∈ 𝑇)
19		elsni 3540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
20	19	oveq1d 5782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
21	20	eleq1d 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 + 𝑁) ∈ 𝑇))
22	18, 21	syl5ibrcom 156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
23	22	impancom 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ {0}) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
24	12, 23	jaodan 786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∨ 𝑀 ∈ {0})) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
25	7, 24	sylan2b 285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ 𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
26		0cnd 7752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
27	26	snssd 3660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
28	13, 27	unssd 3247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
29	1, 28	eqsstrid 3138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ℂ)
30	29	sselda 3092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
31	30	addid1d 7904	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
32		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ 𝑇)
33	31, 32	eqeltrd 2214	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑀 + 0) ∈ 𝑇)
34		elsni 3540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
35	34	oveq2d 5783	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
36	35	eleq1d 2206	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 + 0) ∈ 𝑇))
37	33, 36	syl5ibrcom 156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
38	25, 37	jaod 706	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → ((𝑁 ∈ 𝑆 ∨ 𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
39	4, 38	syl5bi 151	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ 𝑇) → (𝑁 ∈ 𝑇 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
40	39	impr 376	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∪ cun 3064   ⊆ wss 3066  {csn 3522  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  0cc0 7613   + caddc 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770

This theorem is referenced by:  nn0addcl  9005