ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  un0mulcl GIF version

Theorem un0mulcl 8272
Description: If 𝑆 is closed under multiplication, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0mulcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
un0mulcl ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0mulcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
21eleq2i 2120 . . . 4 (𝑁𝑇𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3 elun 3111 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
42, 3bitri 177 . . 3 (𝑁𝑇 ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
51eleq2i 2120 . . . . . 6 (𝑀𝑇𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6 elun 3111 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
75, 6bitri 177 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
8 ssun1 3133 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
98, 1sseqtr4i 3005 . . . . . . . 8 𝑆𝑇
10 un0mulcl.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑆)
119, 10sseldi 2970 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)
1211expr 361 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑆) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1413sselda 2972 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
1514mul02d 7460 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 · 𝑁) = 0)
16 ssun2 3134 . . . . . . . . . . 11 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
1716, 1sseqtr4i 3005 . . . . . . . . . 10 {0} ⊆ 𝑇
18 c0ex 7078 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
1918snss 3521 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ 𝑇 ↔ {0} ⊆ 𝑇)
2017, 19mpbir 138 . . . . . . . . 9 0 ∈ 𝑇
2115, 20syl6eqel 2144 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 · 𝑁) ∈ 𝑇)
22 elsni 3420 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
2322oveq1d 5554 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
2423eleq1d 2122 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 · 𝑁) ∈ 𝑇))
2521, 24syl5ibrcom 150 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
2625impancom 251 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ {0}) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
2712, 26jaodan 721 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0})) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
287, 27sylan2b 275 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
29 0cnd 7077 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3029snssd 3536 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
3113, 30unssd 3146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
321, 31syl5eqss 3016 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
3332sselda 2972 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
3433mul01d 7461 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 · 0) = 0)
3534, 20syl6eqel 2144 . . . . 5 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 · 0) ∈ 𝑇)
36 elsni 3420 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
3736oveq2d 5555 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
3837eleq1d 2122 . . . . 5 (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 · 0) ∈ 𝑇))
3935, 38syl5ibrcom 150 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
4028, 39jaod 647 . . 3 ((𝜑𝑀𝑇) → ((𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
414, 40syl5bi 145 . 2 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑇 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
4241impr 365 1 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wo 639   = wceq 1259  wcel 1409  cun 2942  wss 2944  {csn 3402  (class class class)co 5539  cc 6944  0cc0 6946   · cmul 6951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-sub 7246
This theorem is referenced by:  nn0mulcl  8274
  Copyright terms: Public domain W3C validator