ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  undiffi GIF version

Theorem undiffi 6469
Description: Union of complementary parts into whole. This is a case where we can strengthen undifss 3339 from subset to equality. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
undiffi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem undiffi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidceq 6425 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴𝑦𝐴) → DECID 𝑥 = 𝑦)
213expb 1140 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → DECID 𝑥 = 𝑦)
32ralrimivva 2448 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
4 undifdc 6468 . 2 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
53, 4syl3an1 1203 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  DECID wdc 776  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  cdif 2979  cun 2980  wss 2982  Fincfn 6308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-er 6193  df-en 6309  df-fin 6311
This theorem is referenced by:  unfiin  6470  fihashssdif  9894
  Copyright terms: Public domain W3C validator