ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unirnioo GIF version

Theorem unirnioo 9072
Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
unirnioo ℝ = ran (,)

Proof of Theorem unirnioo
StepHypRef Expression
1 ioomax 9047 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
2 ioof 9070 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 5077 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 7 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 mnfxr 7237 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
6 pnfxr 7233 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
7 fnovrn 5679 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
84, 5, 6, 7mp3an 1269 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
91, 8eqeltrri 2153 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
10 elssuni 3637 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ran (,))
119, 10ax-mp 7 . 2 ℝ ⊆ ran (,)
12 frn 5083 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
132, 12ax-mp 7 . . 3 ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14 sspwuni 3768 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran (,) ⊆ ℝ)
1513, 14mpbi 143 . 2 ran (,) ⊆ ℝ
1611, 15eqssi 3016 1 ℝ = ran (,)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1285  wcel 1434  wss 2974  𝒫 cpw 3390   cuni 3609   × cxp 4369  ran crn 4372   Fn wfn 4927  wf 4928  (class class class)co 5543  cr 7042  +∞cpnf 7212  -∞cmnf 7213  *cxr 7214  (,)cioo 8987
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-ioo 8991
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator