Theorem unirnioo 8913

Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
unirnioo	⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Proof of Theorem unirnioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioomax 8888	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
2		ioof 8911	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 5071	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5		mnfxr 8765	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6		pnfxr 8763	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7		fnovrn 5673	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1241	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
9	1, 8	eqeltrri 2125	. . 3 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
10		elssuni 3633	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ∪ ran (,))
11	9, 10	ax-mp 7	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ∪ ran (,)
12		frn 5077	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
13	2, 12	ax-mp 7	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14		sspwuni 3764	. . 3 ⊢ (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ran (,) ⊆ ℝ)
15	13, 14	mpbi 137	. 2 ⊢ ∪ ran (,) ⊆ ℝ
16	11, 15	eqssi 2986	1 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)

Syntax hints:   = wceq 1257   ∈ wcel 1407   ⊆ wss 2942  𝒫 cpw 3384  ∪ cuni 3605   × cxp 4368  ran crn 4371   Fn wfn 4922  ⟶wf 4923  (class class class)co 5537  ℝcr 6916  +∞cpnf 7086  -∞cmnf 7087  ℝ^*cxr 7088  (,)cioo 8828

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-ioo 8832

This theorem is referenced by: (None)