ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unirnioo GIF version

Theorem unirnioo 8913
Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
unirnioo ℝ = ran (,)

Proof of Theorem unirnioo
StepHypRef Expression
1 ioomax 8888 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
2 ioof 8911 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 5071 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 7 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 mnfxr 8765 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
6 pnfxr 8763 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
7 fnovrn 5673 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
84, 5, 6, 7mp3an 1241 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
91, 8eqeltrri 2125 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
10 elssuni 3633 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ran (,))
119, 10ax-mp 7 . 2 ℝ ⊆ ran (,)
12 frn 5077 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
132, 12ax-mp 7 . . 3 ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14 sspwuni 3764 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran (,) ⊆ ℝ)
1513, 14mpbi 137 . 2 ran (,) ⊆ ℝ
1611, 15eqssi 2986 1 ℝ = ran (,)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1257  wcel 1407  wss 2942  𝒫 cpw 3384   cuni 3605   × cxp 4368  ran crn 4371   Fn wfn 4922  wf 4923  (class class class)co 5537  cr 6916  +∞cpnf 7086  -∞cmnf 7087  *cxr 7088  (,)cioo 8828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-ioo 8832
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator