Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unsnfi GIF version

Theorem unsnfi 6464
 Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem unsnfi
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6330 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 118 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
323ad2ant1 960 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 peano2 4364 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
54ad2antrl 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
6 simprr 499 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴𝑛)
7 simpl2 943 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐵𝑉)
8 simprl 498 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
9 en2sn 6380 . . . . . . 7 ((𝐵𝑉𝑛 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑛})
107, 8, 9syl2anc 403 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → {𝐵} ≈ {𝑛})
11 disjsn 3472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
1211biimpri 131 . . . . . . . 8 𝐵𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
13123ad2ant3 962 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
1413adantr 270 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
15 nnord 4380 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ω → Ord 𝑛)
16 ordirr 4313 . . . . . . . . 9 (Ord 𝑛 → ¬ 𝑛𝑛)
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ω → ¬ 𝑛𝑛)
18 disjsn 3472 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛𝑛)
1917, 18sylibr 132 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
2019ad2antrl 474 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
21 unen 6383 . . . . . 6 (((𝐴𝑛 ∧ {𝐵} ≈ {𝑛}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
226, 10, 14, 20, 21syl22anc 1171 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
23 df-suc 4154 . . . . 5 suc 𝑛 = (𝑛 ∪ {𝑛})
2422, 23syl6breqr 3845 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛)
25 breq2 3809 . . . . 5 (𝑚 = suc 𝑛 → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛))
2625rspcev 2710 . . . 4 ((suc 𝑛 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
275, 24, 26syl2anc 403 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
28 isfi 6330 . . 3 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
2927, 28sylibr 132 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
303, 29rexlimddv 2486 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∃wrex 2354   ∪ cun 2980   ∩ cin 2981  ∅c0 3267  {csn 3416   class class class wbr 3805  Ord word 4145  suc csuc 4148  ωcom 4359   ≈ cen 6307  Fincfn 6309 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-1o 6086  df-er 6194  df-en 6310  df-fin 6312 This theorem is referenced by:  unfidisj  6467  fisseneq  6475  ssfirab  6476  fnfi  6479
 Copyright terms: Public domain W3C validator