ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uz11 GIF version

Theorem uz11 8590
Description: The upper integers function is one-to-one. (Contributed by NM, 12-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
uz11 (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem uz11
StepHypRef Expression
1 uzid 8582 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2 eleq2 2117 . . . . . 6 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
3 eluzel2 8573 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl6bi 156 . . . . 5 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ))
51, 4mpan9 269 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 uzid 8582 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
7 eleq2 2117 . . . . . . . . . . 11 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑁)))
86, 7syl5ibr 149 . . . . . . . . . 10 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
9 eluzle 8580 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
108, 9syl6 33 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑀𝑁))
111, 2syl5ib 147 . . . . . . . . . 10 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
12 eluzle 8580 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
1311, 12syl6 33 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁𝑀))
1410, 13anim12d 322 . . . . . . . 8 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
1514impl 366 . . . . . . 7 ((((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
1615ancoms 259 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
1716anassrs 386 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
18 zre 8305 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
19 zre 8305 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20 letri3 7157 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2118, 19, 20syl2an 277 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2221adantlr 454 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2317, 22mpbird 160 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 = 𝑁)
245, 23mpdan 406 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
2524ex 112 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
26 fveq2 5205 . 2 (𝑀 = 𝑁 → (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁))
2725, 26impbid1 134 1 (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3791  cfv 4929  cr 6945  cle 7119  cz 8301  cuz 8568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-apti 7056
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-fv 4937  df-ov 5542  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-neg 7247  df-z 8302  df-uz 8569
This theorem is referenced by:  fzopth  9025
  Copyright terms: Public domain W3C validator