Theorem uzdcinzz 13005

Description: An upperset of integers is decidable in the integers. Reformulation of eluzdc 9404. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.) (Revised by BJ, 19-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
uzdcinzz	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)

Proof of Theorem uzdcinzz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlelttric 9099	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝑀))
2		eluz 9339	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑥))
3	2	biimprd 157	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑥 → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
4		zltnle 9100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑥))
5	4	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑥))
6	2	notbid 656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝑥))
7	6	biimprd 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 ≤ 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
8	5, 7	sylbid 149	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9	3, 8	orim12d 775	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑥 ∨ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
10	1, 9	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
11	10	ex 114	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ ¬ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
12	11	decidr 13003	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123   < clt 7800   ≤ cle 7801  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326   DECID_in wdcin 13000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-dcin 13001

This theorem is referenced by:  sumdc2  13006